Calcolo Esempi

$2 t e^{2 t}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int t e^{2 t} d t$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{2 t}$ .

$2 (t (\frac{1}{2} e^{2 t}) - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 t}$ .

$2 (t \frac{e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Passaggio 3.2

$t$ e $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{e^{2 t}}{2} d t)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 t} d t))$

Passaggio 5

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Passaggio 10

Riscrivi $2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ come $2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{2}$ e $t$ .

$2 (\frac{t}{2} e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Passaggio 12.1.2

$\frac{t}{2}$ e $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Passaggio 12.1.3

$e^{2 t}$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Passaggio 12.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi l'espressione.

$t e^{2 t} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Passaggio 12.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{2 t}}{4}$ nel numeratore.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{4} + C$

Passaggio 12.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 (2)} + C$

Passaggio 12.4.3

Elimina il fattore comune.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 12.4.4

Riscrivi l'espressione.

$t e^{2 t} + \frac{- e^{2 t}}{2} + C$

Passaggio 12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t e^{2 t} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Passaggio 12.6

Per scrivere $t e^{2 t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t e^{2 t} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Passaggio 12.7

$t e^{2 t}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Passaggio 12.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t}}{2} + C$

Passaggio 12.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.9.1

Sposta $2$ alla sinistra di $t e^{2 t}$ .

$\frac{2 \cdot (t e^{2 t}) - e^{2 t}}{2} + C$

Passaggio 12.9.2

Scomponi $e^{2 t}$ da $2 t e^{2 t} - e^{2 t}$ .

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Passaggio 12.9.2.1

Scomponi $e^{2 t}$ da $2 t e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t) - e^{2 t}}{2} + C$

Passaggio 12.9.2.2

Scomponi $e^{2 t}$ da $- e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1}{2} + C$

Passaggio 12.9.2.3

Scomponi $e^{2 t}$ da $e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t - 1)}{2} + C$

$\frac{1}{2} e^{2 t} (2 t - 1) + C$