Calcolo Esempi

$4 \sin^{2} (π x) \cos^{5} (π x)$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \sin^{2} (π x) \cos^{5} (π x) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = π x$ . Allora $d u_{1} = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = π x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{π}$ e $\sin^{2} (u_{1})$ .

$4 \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{π} \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 3.2

$\frac{\sin^{2} (u_{1})}{π}$ e $\cos^{5} (u_{1})$ .

$4 \int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 5

$\frac{1}{π}$ e $4$ .

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Metti in evidenza $\cos^{4} (u_{1})$ .

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) (\cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 7

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 7.2

Riscrivi ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 8

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (u_{1})$ come $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Passaggio 9.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Passaggio 10

Espandi ${u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 10.1

Riscrivi ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ come $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} ((1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 10.2