Calcolo Esempi

$\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C$