Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{4} - 1}$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2})}^{2} - 1}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.3

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 1.1.4

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 (x + 1)) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.8

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.1.2

Dividi $((A x + B) (x + 1)) (x - 1)$ per $1$ .

$1 = ((A x + B) (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.2

Espandi $(A x + B) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = (A x (x + 1) + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.3.1.1

Sposta $x$ .

$1 = (A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = (A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.3.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = (A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.3.3

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = (A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.4

Espandi $(A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.5

Combina i termini opposti in $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.5.1

Riordina i fattori nei termini di $B x \cdot - 1$ e $B x$ .

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x - B x + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.5.2

Somma $- B x$ e $B x$ .

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + 0 + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.5.3

Somma $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x$ e $0$ .

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.6.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.6.1.1

Sposta $x$ .

$1 = A (x \cdot x^{2}) + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.6.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 = A (x \cdot x^{2}) + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = A x^{1 + 2} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$1 = A x^{3} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A x^{2}$ .

$1 = A x^{3} - 1 \cdot (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.3

Riscrivi $- 1 (A x^{2})$ come $- (A x^{2})$ .

$1 = A x^{3} - (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.6.4.1

Sposta $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A (x \cdot x) + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - 1 \cdot (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.6

Riscrivi $- 1 (A x)$ come $- (A x)$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.6.7.1

Sposta $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B (x \cdot x) + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - 1 \cdot B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.6.9

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.7

Combina i termini opposti in $A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.7.1

Somma $- A x^{2}$ e $A x^{2}$ .

$1 = A x^{3} + 0 - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.7.2

Somma $A x^{3}$ e $0$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.8

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.8.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.8.2

Dividi $(C) (x^{2} + 1) (x - 1)$ per $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C) (x^{2} + 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.9

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C \cdot 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.10

Moltiplica $C$ per $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.11

Espandi $(C x^{2} + C) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} (x - 1) + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.12.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.12.1.1

Sposta $x$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.12.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.12.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.12.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.12.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.12.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $C x^{2}$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - 1 \cdot (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.12.3

Riscrivi $- 1 (C x^{2})$ come $- (C x^{2})$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.12.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $C$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - 1 \cdot C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.12.5

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.13

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.13.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.9.13.2

Dividi $(D) (x^{2} + 1) (x + 1)$ per $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D) (x^{2} + 1) (x + 1)$

Passaggio 1.1.9.14

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D \cdot 1) (x + 1)$

Passaggio 1.1.9.15

Moltiplica $D$ per $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D) (x + 1)$

Passaggio 1.1.9.16

Espandi $(D x^{2} + D) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} (x + 1) + D (x + 1)$

Passaggio 1.1.9.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D (x + 1)$

Passaggio 1.1.9.16.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.9.17

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.17.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.17.1.1

Sposta $x$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.9.17.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.17.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.9.17.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{1 + 2} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.9.17.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.9.17.2

Moltiplica $D$ per $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.9.17.3

Moltiplica $D$ per $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Passaggio 1.1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Sposta $A$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Passaggio 1.1.10.2

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Passaggio 1.1.10.3

Sposta $- C$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - C + D$

Passaggio 1.1.10.4

Sposta $- B$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - B - C + D$

Passaggio 1.1.10.5

Sposta $C x$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} + C x + D x - B - C + D$

Passaggio 1.1.10.6

Sposta $- 1 x A$ .

$1 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Passaggio 1.1.10.7

Sposta $- C x^{2}$ .

$1 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} + D x^{3} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Passaggio 1.1.10.8

Sposta $B x^{2}$ .

$1 = A x^{3} + C x^{3} + D x^{3} + B x^{2} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + C + D$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B - 1 C + D$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + C + D$

Passaggio 1.2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + C + D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = A + C + D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + C + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + C + D = 0$ .

$A + C + D = 0$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A + D = - C$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.1.2.2

Sottrai $D$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- C - D$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 1 A + C + D$ con $- C - D$ .

$0 = - 1 (- C - D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (- C - D) + C + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 1 (- C) - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 1 (- C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = 1 C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1 (- D)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = C + 1 D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3.2

Moltiplica $D$ per $1$ .

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.2.1

Somma $C$ e $C$ .

$0 = 2 C + D + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.2.2.1.2.2

Somma $D$ e $D$ .

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $C$ in $0 = 2 C + 2 D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 C + 2 D = 0$ .

$2 C + 2 D = 0$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $2 D$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 C = - 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = - 2 D$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = - 2 D$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 D$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2 (1)}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$C = \frac{2 (- D)}{2 \cdot 1}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$C = \frac{- D}{1}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.4

Dividi $- D$ per $1$ .

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- D$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $A = - C - D$ con $- D$ .

$A = - (- D) - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $- (- D) - D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $- (- D)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 D - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $D$ per $1$ .

$A = D - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = D - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Sottrai $D$ da $D$ .

$A = 0$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $0 = B - 1 C + D$ con $- D$ .

$0 = B - 1 (- D) + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.1

Semplifica $B - 1 (- D) + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.1.1

Moltiplica $- 1 (- D)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = B + 1 D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.4.4.1.1.2

Moltiplica $D$ per $1$ .

$0 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.4.4.1.2

Somma $D$ e $D$ .

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Passaggio 1.3.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $1 = - 1 B - 1 C + D$ con $- D$ .

$1 = - 1 B - 1 (- D) + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.4.6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.6.1

Semplifica $- 1 B - 1 (- D) + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.6.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.6.1.1.1

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$1 = - B - 1 (- D) + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.4.6.1.1.2

Moltiplica $- 1 (- D)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.6.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 = - B + 1 D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.4.6.1.1.2.2

Moltiplica $D$ per $1$ .

$1 = - B + D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.4.6.1.2

Somma $D$ e $D$ .

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $B$ in $0 = B + 2 D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $B + 2 D = 0$ .

$B + 2 D = 0$

$1 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.5.2

Sottrai $2 D$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 2 D$

$1 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - 2 D$

$1 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 2 D$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $1 = - B + 2 D$ con $- 2 D$ .

$1 = - (- 2 D) + 2 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Semplifica $- (- 2 D) + 2 D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$1 = 2 D + 2 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.6.2.1.2

Somma $2 D$ e $2 D$ .

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.7

Risolvi per $D$ in $1 = 4 D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Riscrivi l'equazione come $4 D = 1$ .

$4 D = 1$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.7.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 D = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 D = 1$ .

$\frac{4 D}{4} = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 D}{4} = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.7.2.2.1.2

Dividi $D$ per $1$ .

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $\frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $B = - 2 D$ con $\frac{1}{4}$ .

$B = - 2 (\frac{1}{4})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1

Semplifica $- 2 (\frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$B = 2 (- 1) (\frac{1}{4})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.8.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.8.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.8.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$B = - 1 (\frac{1}{2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - 1 (\frac{1}{2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.8.2.1.2

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Passaggio 1.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $C = - D$ con $\frac{1}{4}$ .

$C = - (\frac{1}{4})$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

Passaggio 1.3.8.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{4}$ .

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

Passaggio 1.3.9

Elenca tutte le soluzioni.

$C = - \frac{1}{4}, B = - \frac{1}{2}, D = \frac{1}{4}, A = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{0 x - \frac{1}{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $\frac{0 \cdot x - \frac{1}{2}}{x^{2} + 1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{0 \cdot x - \frac{1}{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.1.2

Combina.

$\frac{2 (0 \cdot x - \frac{1}{2})}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (0 \cdot x) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$\frac{2 (0 \cdot x) + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (0 \cdot x) + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (0 \cdot x) - 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0 \cdot x - 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.4.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{0 - 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.4.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 (x^{2}) + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.5.1.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$\frac{- 1}{2 (x^{2}) + 2 (1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{- 1}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.7

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.8

Sposta $4$ alla sinistra di $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.9

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1.5.10

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x) + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 5.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \int \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 12

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 12.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 12.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \arctan (x) - \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$- \frac{1}{2} \arctan (x) - \frac{1}{4} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \arctan (x) - \frac{1}{4} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 1 |) + C$