Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{15}{x^{2} + 12}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{15}{x^{2} + 12}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 12}$ come ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ .

$15 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 12$ .

$15 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$15 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 12$ .

$15 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$- 15 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Passaggio 1.1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 15 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 1.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 15 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 1.1.1.3.4

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 15 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 15 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 1.1.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$- 30 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 30 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

$- 30$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$\frac{- 30}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{30}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

$x$ e $\frac{30}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 30}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.2.4

Sposta $30$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{30 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{30 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 30 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$- 30 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 30 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 30 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 30 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 30 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 12)}^{2}$ per $1$ .

$- 30 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 12$ .

$- 30 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 30 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 12$ .

$- 30 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 30 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Scomponi $x^{2} + 12$ da ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 12$ da ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 30 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 12$ da $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$- 30 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 12$ da $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$- 30 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $x^{2} + 12$ da ${(x^{2} + 12)}^{4}$ .

$- 30 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 30 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.9

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.14

Somma $1$ e $1$ .

$- 30 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 30 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.16

$- 30$ e $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$\frac{- 30 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{30 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.18.2.1

Moltiplica $- 3$ per $30$ .

$- \frac{- 90 x^{2} + 30 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18.2.2

Moltiplica $30$ per $12$ .

$- \frac{- 90 x^{2} + 360}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.18.3.1

Scomponi $90$ da $- 90 x^{2} + 360$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.18.3.1.1

Scomponi $90$ da $- 90 x^{2}$ .

$- \frac{90 (- x^{2}) + 360}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18.3.1.2

Scomponi $90$ da $360$ .

$- \frac{90 (- x^{2}) + 90 (4)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18.3.1.3

Scomponi $90$ da $90 (- x^{2}) + 90 (4)$ .

$- \frac{90 (- x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{90 (- x^{2} + 2^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18.3.3

Riordina $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$- \frac{90 (2^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

$f'' (x) = - \frac{90 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{90 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$- \frac{90 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{90 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{90 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$90 (2 + x) (2 - x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ .

$2 + x = 0$

Passaggio 1.2.3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.3.3

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 1.2.3.3.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 1.2.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 1.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $90 (2 + x) (2 - x) = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{15}{x^{2} + 12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{15}{x^{2} + 12}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 12$

Passaggio 2.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Passaggio 2.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Passaggio 2.2.3.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Passaggio 2.2.3.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Passaggio 2.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = - \frac{90 (2 - 4) (2 - (- 4))}{{({(- 4)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f'' (- 4) = - \frac{90 (2 - 4) (2 - (- 4))}{{({(- 4)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{90 (2 - 4) (2 + 4)}{{({(- 4)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{90 \cdot (- 2 (2 + 4))}{{({(- 4)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $90$ per $- 2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 180 (2 + 4)}{{({(- 4)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $2$ e $4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 180 \cdot 6}{{({(- 4)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 180 \cdot 6}{{(16 + 12)}^{3}}$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $16$ e $12$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 180 \cdot 6}{28^{3}}$

Passaggio 4.2.3.3

Eleva $28$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 180 \cdot 6}{21952}$

Passaggio 4.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $- 180$ per $6$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 1080}{21952}$

Passaggio 4.2.4.2

Elimina il fattore comune di $- 1080$ e $21952$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Scomponi $8$ da $- 1080$ .

$f'' (- 4) = - \frac{8 (- 135)}{21952}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.2.1

Scomponi $8$ da $21952$ .

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 135}{8 \cdot 2744}$

Passaggio 4.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 135}{8 \cdot 2744}$

Passaggio 4.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 4) = - \frac{- 135}{2744}$

Passaggio 4.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = \frac{135}{2744}$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è $\frac{135}{2744}$ .

$\frac{135}{2744}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (- 4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{90 (2 + 0) (2 - (0))}{{({(0)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f'' (0) = - \frac{90 (2 + 0) (2 - (0))}{{({(0)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{90 (2 + 0) (2 + 0)}{{(0^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Eleva $2 + 0$ alla potenza di $1$ .

$f'' (0) = - \frac{90 ((2 + 0) (2 + 0))}{{(0^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.1.3

Eleva $2 + 0$ alla potenza di $1$ .

$f'' (0) = - \frac{90 ((2 + 0) (2 + 0))}{{(0^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (0) = - \frac{90 {(2 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (0) = - \frac{90 {(2 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (0) = - \frac{90 \cdot 2^{2}}{{(0^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0) = - \frac{90 \cdot 4}{{(0^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{90 \cdot 4}{{(0 + 12)}^{3}}$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $0$ e $12$ .

$f'' (0) = - \frac{90 \cdot 4}{12^{3}}$

Passaggio 5.2.3.3

Eleva $12$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = - \frac{90 \cdot 4}{1728}$

Passaggio 5.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $90$ per $4$ .

$f'' (0) = - \frac{360}{1728}$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $360$ e $1728$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Scomponi $72$ da $360$ .

$f'' (0) = - \frac{72 (5)}{1728}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.2.1

Scomponi $72$ da $1728$ .

$f'' (0) = - \frac{72 \cdot 5}{72 \cdot 24}$

Passaggio 5.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = - \frac{72 \cdot 5}{72 \cdot 24}$

Passaggio 5.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = - \frac{5}{24}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $- \frac{5}{24}$ .

$- \frac{5}{24}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 2, 2)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 2, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = - \frac{90 (2 + 4) (2 - (4))}{{({(4)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f'' (4) = - \frac{90 (2 + 4) (2 - (4))}{{({(4)}^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (4) = - \frac{90 (2 + 4) (2 - 4)}{{(4^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $2$ e $4$ .

$f'' (4) = - \frac{90 \cdot (6 (2 - 4))}{{(4^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $90$ per $6$ .

$f'' (4) = - \frac{540 (2 - 4)}{{(4^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.4

Sottrai $4$ da $2$ .

$f'' (4) = - \frac{540 \cdot - 2}{{(4^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = - \frac{540 \cdot - 2}{{(16 + 12)}^{3}}$

Passaggio 6.2.3.2

Somma $16$ e $12$ .

$f'' (4) = - \frac{540 \cdot - 2}{28^{3}}$

Passaggio 6.2.3.3

Eleva $28$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = - \frac{540 \cdot - 2}{21952}$

Passaggio 6.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $540$ per $- 2$ .

$f'' (4) = - \frac{- 1080}{21952}$

Passaggio 6.2.4.2

Elimina il fattore comune di $- 1080$ e $21952$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Scomponi $8$ da $- 1080$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (- 135)}{21952}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.2.1

Scomponi $8$ da $21952$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 135}{8 \cdot 2744}$

Passaggio 6.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 135}{8 \cdot 2744}$

Passaggio 6.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (4) = - \frac{- 135}{2744}$

Passaggio 6.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (4) = \frac{135}{2744}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $\frac{135}{2744}$ .

$\frac{135}{2744}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(2, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- 2, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8