Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + 2$ e $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + 0) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 2 - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + 0))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \cdot 1)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.5.2

Moltiplica $x + 4$ per $1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.1

Riscrivi ${(x + 4)}^{2}$ come $(x + 4) (x + 4)$ .

$\frac{2 ((x + 4) (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2

Espandi $(x + 4) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.5.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.6.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7

Espandi $(- 4 x - 4) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x (x + 4) - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.1.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.1.3

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.2

Sottrai $4 x$ da $- 16 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 32 - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.3

Sottrai $20 x$ da $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 32 - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.4

Sottrai $16$ da $32$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} - 4 x + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.1.3

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.1.4

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.1.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.3.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.3.2.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.2.1.2

Riscrivi $- 2$ come $2$ più $- 4$ .

$\frac{2 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.3.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$\frac{2 ((- x + 2) (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $x + 4$ e ${(x + 4)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.4.1

Scomponi $x + 4$ da $2 (- x + 2) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.4.2.1

Scomponi $x + 4$ da ${(x + 4)}^{4}$ .

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (- x + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.6

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.8

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.5.2

Moltiplica ${(x + 4)}^{3}$ per $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da ${(x + 4)}^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da $- 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da ${(x + 4)}^{6}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.10.3

$- 2$ e $\frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$\frac{- 2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.10.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.3.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- \frac{2 x + 8 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.1.3

Moltiplica $2 (- 3 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.3.1.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 \cdot 6}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.1.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.2

Sottrai $6 x$ da $2 x$ .

$- \frac{- 4 x + 8 + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.3

Somma $8$ e $12$ .

$- \frac{- 4 x + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.4

Scomponi $4$ da $- 4 x + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.4.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$- \frac{4 (- x) + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.4.2

Scomponi $4$ da $20$ .

$- \frac{4 (- x) + 4 (5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.4.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (5)$ .

$- \frac{4 (- x + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{4 (- (x) + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.6

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{4 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{4 (- (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.8

Riscrivi $- (x - 5)$ come $- 1 (x - 5)$ .

$- \frac{4 (- 1 (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.11

Moltiplica $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (x - 5) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x - 5) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x - 5) = 0$ .

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.2.1.2

Dividi $x - 5$ per $1$ .

$x - 5 = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 4}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 4}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{4 ((- 6) - 5)}{{((- 6) + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $5$ da $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 6 + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $- 6$ e $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 2)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{16}$

Passaggio 4.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $4$ per $- 11$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 44}{16}$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 44$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 44$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (- 11)}{16}$

Passaggio 4.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{- 11}{4}$

Passaggio 4.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 6) = - \frac{11}{4}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $- \frac{11}{4}$ .

$- \frac{11}{4}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 4)$ perché $f'' (- 6)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 4, 5)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{4 ((0) - 5)}{{((0) + 4)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $5$ da $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 4)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $0$ e $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4^{4}}$

Passaggio 5.2.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{256}$

Passaggio 5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f'' (0) = \frac{- 20}{256}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $256$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 20$ .

$f'' (0) = \frac{4 (- 5)}{256}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $256$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

Passaggio 5.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

Passaggio 5.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 5}{64}$

Passaggio 5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = - \frac{5}{64}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \frac{5}{64}$ .

$- \frac{5}{64}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 4, 5)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 4, 5)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(5, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f'' (8) = \frac{4 ((8) - 5)}{{((8) + 4)}^{4}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $5$ da $8$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{{(8 + 4)}^{4}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $8$ e $4$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{12^{4}}$

Passaggio 6.2.2.2

Eleva $12$ alla potenza di $4$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{20736}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f'' (8) = \frac{12}{20736}$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $20736$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $12$ da $12$ .

$f'' (8) = \frac{12 (1)}{20736}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.1

Scomponi $12$ da $20736$ .

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

Passaggio 6.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (8) = \frac{1}{1728}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{1728}$ .

$\frac{1}{1728}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(5, \infty)$ perché $f'' (8)$ è positivo.

Funzione convessa su $(5, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione concava su $(- 4, 5)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(5, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8