Calcolo Esempi

$\int_{x}^{x^{2}} t^{2} d t$

Passaggio 1

Dividi l'integrale in due integrali, dove $c$ è un qualche valore tra $x$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Passaggio 3

Inverti i limiti dell'integrazione.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Passaggio 4

Trova la derivata di $- \int_{c}^{x} t^{2} d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Passaggio 5

Trova la derivata di $\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo e la regola della catena.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 6.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- x^{2} + 2 x {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{4}$

Passaggio 7

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $x^{4}$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x)$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x^{1})$

Passaggio 7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{2} + 2 x^{4 + 1}$

Passaggio 7.3

Somma $4$ e $1$ .

$- x^{2} + 2 x^{5}$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$2 x^{5} - x^{2}$