Calcolo Esempi

$y = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ come funzione.

$f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 12 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $12 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $12 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.7.3

Sposta ${(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.7.4

$\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.9

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.13.2

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.13.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.13.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{- x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.13.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.15

Moltiplica ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.1.16

Per scrivere ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.17

${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.19.1

Sposta ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.19.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.19.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.20

Semplifica ${(12 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (12 - x) \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.21

Sposta $3$ alla sinistra di $12 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (12 - x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x + 3 \cdot 12 + 3 (- x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.22.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.22.2.1.1

Moltiplica $3$ per $12$ .

$\frac{- x + 36 + 3 (- x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- x + 36 - 3 x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.2.2

Sottrai $3 x$ da $- x$ .

$\frac{- 4 x + 36}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.3

Scomponi $4$ da $- 4 x + 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.22.3.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 36}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.3.2

Scomponi $4$ da $36$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.3.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (9)$ .

$\frac{4 (- x + 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.5

Riscrivi $9$ come $- 1 (- 9)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{4 (- (x - 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.7

Riscrivi $- (x - 9)$ come $- 1 (x - 9)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.22.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 9}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 9}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 9$ e $g (x) = {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{({(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Passaggio 2.2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.3.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.3.5.2

Moltiplica ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 12 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $12 - x$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $12 - x$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.8.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.9.2

$\frac{2}{3}$ e ${(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2 {(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.9.3

Sposta ${(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.11

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.12

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.14

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 1 (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.14.2

Moltiplica $x - 9$ per $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.16

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.16.1

Moltiplica $x - 9$ per $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.16.2

Moltiplica $\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ per $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 4}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Passaggio 2.2.16.3

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.16.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 \cdot ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Passaggio 2.2.16.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 \cdot {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.2.1

Scomponi $4$ da $4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.1.2

Scomponi $4$ da $4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.1.3

Scomponi $4$ da $4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.2

Moltiplica $x - 9$ per $\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{(x - 9) \cdot 2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 9$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.4

Per scrivere ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.5

${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 (\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{4 \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7

Riscrivi $\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.2.7.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.2

Moltiplica ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.2.7.2.1

Sposta ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 \frac{3 ({(12 - x)}^{\frac{1}{3}} {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{3}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.2.5

Dividi $3$ per $3$ .

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{1} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.3

Semplifica $3 {(12 - x)}^{1}$ .

$- \frac{4 \frac{3 (12 - x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{4 \frac{3 \cdot 12 + 3 (- x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.5

Moltiplica $3$ per $12$ .

$- \frac{4 \frac{36 + 3 (- x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.7

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 9}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.8

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 x - 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.9

Sottrai $18$ da $36$ .

$- \frac{4 \frac{- 3 x + 2 x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.2.7.10

Somma $- 3 x$ e $2 x$ .

$- \frac{4 \frac{- x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.3.1

$4$ e $\frac{- x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.3.2

Riscrivi $\frac{\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ come un prodotto.

$- (\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 2.2.17.3.3

Moltiplica $\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 2.2.17.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.3.5

Moltiplica ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.3.5.1

Sposta ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 ({(12 - x)}^{\frac{4}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 2.2.17.3.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.3.5.4

Somma $4$ e $1$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{4 (- (x) + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.5

Riscrivi $18$ come $- 1 (- 18)$ .

$- \frac{4 (- (x) - 1 (- 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 18)$ .

$- \frac{4 (- (x - 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.7

Riscrivi $- (x - 18)$ come $- 1 (x - 18)$ .

$- \frac{4 (- 1 (x - 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.17.10

Moltiplica $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (x - 18) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x - 18) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x - 18) = 0$ .

$\frac{4 (x - 18)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x - 18)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.1.2

Dividi $x - 18$ per $1$ .

$x - 18 = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x - 18 = 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $18$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 18$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $18$ in $f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $18$ nell'espressione.

$f (18) = (18) {(12 - (18))}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$f (18) = 18 {(12 - 18)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $18$ da $12$ .

$f (18) = 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $18$ in $f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ è $(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 18) \cup (18, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 18)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $17.9$ nell'espressione.

$f'' (17.9) = \frac{4 ((17.9) - 18)}{9 {(12 - (17.9))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $18$ da $17.9$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(12 - (17.9))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $17.9$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(12 - 17.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $17.9$ da $12$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $4$ per $- 0.1$ .

$f'' (17.9) = \frac{- 0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (17.9) = - \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $17.9$ , la derivata seconda è $0.00230708$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 18)$ .

Crescente su $(- \infty, 18)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(18, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $18.1$ nell'espressione.

$f'' (18.1) = \frac{4 ((18.1) - 18)}{9 {(12 - (18.1))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $18$ da $18.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(12 - (18.1))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $18.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(12 - 18.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $18.1$ da $12$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $4$ per $0.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.3

Per $18.1$ , la derivata seconda è $- 0.0021824$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(18, \infty)$ .

Decrescente su $(18, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$ .

$(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9