Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x} + \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 2.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 2.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.10

Sottrai $4$ da $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.11

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.12

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.13

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 2.2.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 2.2.3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 2.2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 2.2.3.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.3.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Passaggio 2.2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Passaggio 2.2.3.13.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.3.13.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.3.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.3.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.3.13.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.3.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.3.14

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.2.3.15

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.2.3.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 4, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Passaggio 3.2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.7

Il minimo comune multiplo di $1, 4, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2 \cdot 2$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4$

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{3}$

Passaggio 3.2.10

Il minimo comune multiplo di $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ è la parte numerica $4$ moltiplicata per la parte variabile.

$4 x^{3}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $4 x^{3}$ ciascun termine in $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ per $4 x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (4 x^{3}) - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \frac{2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $4 \frac{2}{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

$4$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$8 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ nel numeratore.

$8 + \frac{- 1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Scomponi $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ da $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Scomponi $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ da $4 x^{3}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (x^{\frac{3}{2}})) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 \cdot 1} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 x^{\frac{3}{2}}) = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 (4 x^{3})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $0 (4 x^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 x^{3}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{3}$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{\frac{3}{2}} = - 8$

Passaggio 3.4.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{2}{3}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Semplifica ${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.3.2

Moltiplica ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.3.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.3.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1.3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.3.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.1.4

Semplifica.

$x = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Semplifica ${(- 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1.1

Riscrivi $- 8$ come ${(- 2)}^{3}$ .

$x = {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4.3.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = 4$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $4$ in $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (4) = \frac{1}{4} + 2$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.1.2.3

$2$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (4) = \frac{1 + 8}{4}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Somma $1$ e $8$ .

$f (4) = \frac{9}{4}$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $4$ in $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ è $(4, \frac{9}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(4, \frac{9}{4})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.9$ nell'espressione.

$f'' (3.9) = \frac{2}{{(3.9)}^{3}} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $3.9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (3.9) = \frac{2}{59.319} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $2$ per $59.319$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Riscrivi $3.9$ come ${1.97484176}^{2}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {({1.97484176}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 6.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3.4

Eleva $1.97484176$ alla potenza di $3$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot 7.70188288}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $4$ per $7.70188288$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{30.80753154}$

Passaggio 6.2.1.5

Dividi $1$ per $30.80753154$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 1 \cdot 0.03245959$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $0.03245959$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 0.03245959$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $0.03245959$ da $0.03371601$ .

$f'' (3.9) = 0.00125641$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.00125641$ .

$0.00125641$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $3.9$ , la derivata seconda è $0.00125641$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 4)$ .

Crescente su $(- \infty, 4)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.1$ nell'espressione.

$f'' (4.1) = \frac{2}{{(4.1)}^{3}} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4.1) = \frac{2}{68.921} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $2$ per $68.921$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.3.1

Riscrivi $4.1$ come ${2.02484567}^{2}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {({2.02484567}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 7.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 7.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3.4

Eleva $2.02484567$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot 8.30186725}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $4$ per $8.30186725$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{33.20746903}$

Passaggio 7.2.1.5

Dividi $1$ per $33.20746903$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 1 \cdot 0.0301137$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $0.0301137$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 0.0301137$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $0.0301137$ da $0.02901873$ .

$f'' (4.1) = - 0.00109497$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 0.00109497$ .

$- 0.00109497$

Passaggio 7.3

Per $4.1$ , la derivata seconda è $- 0.00109497$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(4, \frac{9}{4})$ .

$(4, \frac{9}{4})$

Passaggio 9