Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$15 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 24 x + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $60 x^{3} - 24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 24 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$15 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$15 u^{2} - 12 u - 3 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $3$ da $15 u^{2} - 12 u - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $3$ da $15 u^{2}$ .

$3 (5 u^{2}) - 12 u - 3 = 0$

Passaggio 5.3.1.2

Scomponi $3$ da $- 12 u$ .

$3 (5 u^{2}) + 3 (- 4 u) - 3 = 0$

Passaggio 5.3.1.3

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$3 (5 u^{2}) + 3 (- 4 u) + 3 (- 1) = 0$

Passaggio 5.3.1.4

Scomponi $3$ da $3 (5 u^{2}) + 3 (- 4 u)$ .

$3 (5 u^{2} - 4 u) + 3 (- 1) = 0$

Passaggio 5.3.1.5

Scomponi $3$ da $3 (5 u^{2} - 4 u) + 3 (- 1)$ .

$3 (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

Passaggio 5.3.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ e la cui somma è $b = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 u$ .

$3 (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Riscrivi $- 4$ come $1$ più $- 5$ .

$3 (5 u^{2} + (1 - 5) u - 1) = 0$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (5 u^{2} + 1 u - 5 u - 1) = 0$

Passaggio 5.3.2.1.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$3 (5 u^{2} + u - 5 u - 1) = 0$

Passaggio 5.3.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$3 ((5 u^{2} + u) - 5 u - 1) = 0$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 (u (5 u + 1) - (5 u + 1)) = 0$

Passaggio 5.3.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 u + 1$ .

$3 ((5 u + 1) (u - 1)) = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (5 u + 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $5 u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $5 u + 1$ uguale a $0$ .

$5 u + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $5 u + 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 u = - 1$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 u = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 u = - 1$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 1}{5}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 1}{5}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{5}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{5}$

Passaggio 5.6

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (5 u + 1) (u - 1) = 0$ vera.

$u = - \frac{1}{5}, 1$

Passaggio 5.8

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = - \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Passaggio 5.9

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{5}$

Passaggio 5.10

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{5}}$

Passaggio 5.10.2

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.1

Riscrivi $- \frac{1}{5}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{5}}$

Passaggio 5.10.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{5}}$

Passaggio 5.10.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{5}}$

Passaggio 5.10.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{5}}$

Passaggio 5.10.2.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{5}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 5.10.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{5}}$

Passaggio 5.10.2.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 5.10.2.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 5.10.2.7.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 5.10.2.7.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 5.10.2.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.10.2.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 5.10.2.7.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.10.2.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.10.2.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.2.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.2.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 5.10.2.7.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.10.2.8

$i$ e $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.10.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.10.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.10.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{5}}{5}, - \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.11

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Passaggio 5.12

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = 1$

Passaggio 5.12.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 5.12.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 5.12.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 5.12.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 5.12.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 5.13

La soluzione di $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$ è $x = \frac{i \sqrt{5}}{5}, - \frac{i \sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{i \sqrt{5}}{5}, - \frac{i \sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$60 {(1)}^{3} - 24 \cdot 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$60 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $60$ per $1$ .

$60 - 24 \cdot 1$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$60 - 24$

Passaggio 9.2

Sottrai $24$ da $60$ .

$36$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 {(1)}^{5} - 4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 - 4 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 4 - 3 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 4 - 3$

Passaggio 11.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $4$ da $3$ .

$f (1) = - 1 - 3$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$f (1) = - 4$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$60 {(- 1)}^{3} - 24 \cdot - 1$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$60 \cdot - 1 - 24 \cdot - 1$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $60$ per $- 1$ .

$- 60 - 24 \cdot - 1$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 24$ per $- 1$ .

$- 60 + 24$

Passaggio 13.2

Somma $- 60$ e $24$ .

$- 36$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

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Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1) = 3 \cdot - 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 4 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = - 3 - 4 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 4 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 4 + 3$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 3$ e $4$ .

$f (- 1) = 1 + 3$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (- 1) = 4$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ .

$(1, - 4)$ è un minimo locale

$(- 1, 4)$ è un massimo locale

Passaggio 17