Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 100 x^{2} + 81$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $100 x^{2} + 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100 x^{2}$ rispetto a $x$ è $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Somma $200 x$ e $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Passaggio 1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.1.1

Moltiplica $100$ per $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.2.2

Sottrai $100 x^{2}$ da $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.3.1

Riscrivi $100 x^{2}$ come ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.3.2

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 10 x$ e $b = 9$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((10 x + 9) (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((10 x + 9) (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((10 x + 9) (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 10 x + 9$ e $g (x) = 10 x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) \frac{d}{d x} (10 x - 9) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (\frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 + 0) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Somma $10$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) \cdot 10 + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.6.2

Sposta $10$ alla sinistra di $10 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 \cdot (10 x + 9) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (\frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.8

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.10

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.11

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 + 0)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.1

Somma $10$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) \cdot 10) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.12.2

Sposta $10$ alla sinistra di $10 x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 \cdot (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.14

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.14.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.14.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.14.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))) + x (- 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.14.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))) + x (- 2 (10 x + 9) (10 x - 9))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x) + 10 \cdot 9 + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x) + 10 \cdot 9 + 10 (10 x) + 10 \cdot - 9) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 \cdot 9) + x (10 (10 x)) + x (10 \cdot - 9) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 \cdot 9) + x (10 (10 x)) + x (10 \cdot - 9) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Combina i termini opposti in $x (10 (10 x)) + x (10 \cdot 9) + x (10 (10 x)) + x (10 \cdot - 9) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x (10 \cdot 9)$ e $x (10 \cdot - 9)$ .

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + 9 \cdot (10 x) + x (10 (10 x)) - 9 \cdot (10 x) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.1.2

Sottrai $9 \cdot 10 x$ da $9 \cdot 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 (10 x)) + 0 + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.1.3

Somma $x (10 (10 x)) + x (10 (10 x))$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{10 \cdot (10 x \cdot x) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 \cdot (10 (x \cdot x)) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 \cdot (10 x^{2}) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.3

Moltiplica $10$ per $10$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 10 \cdot (10 x \cdot x) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 10 \cdot (10 (x \cdot x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 10 \cdot (10 x^{2}) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.6

Moltiplica $10$ per $10$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.7.1

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} + (- 20 x - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.7.2

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} + (- 20 x - 18) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.8

Espandi $(- 20 x - 18) (10 x - 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 x (10 x - 9) - 18 (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 x (10 x) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x - 9)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 x (10 x) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.9.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 \cdot (10 x \cdot x) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.9.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 \cdot (10 (x \cdot x)) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 \cdot (10 x^{2}) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.3

Moltiplica $- 20$ per $10$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.4

Moltiplica $- 9$ per $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 180 x - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.5

Moltiplica $10$ per $- 18$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 180 x - 180 x - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.6

Moltiplica $- 18$ per $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 180 x - 180 x + 162}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.2

Sottrai $180 x$ da $180 x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 0 + 162}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.3

Somma $- 200 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 162}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.3

Somma $100 x^{2}$ e $100 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{200 x^{2} - 200 x^{2} + 162}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.4

Sottrai $200 x^{2}$ da $200 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 162}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.5

Somma $0$ e $162$ .

$f'' (x) = \frac{162}{x^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $100 x^{2} + 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100 x^{2}$ rispetto a $x$ è $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $2$ per $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Somma $200 x$ e $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.2.1.1

Moltiplica $100$ per $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.2.2

Sottrai $100 x^{2}$ da $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.3.1

Riscrivi $100 x^{2}$ come ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.3.2

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 10 x$ e $b = 9$ .

$f' (x) = \frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$10 x + 9 = 0$

$10 x - 9 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $10 x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $10 x + 9$ uguale a $0$ .

$10 x + 9 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Risolvi $10 x + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = - 9$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 9$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 9}{10}$

Passaggio 5.3.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{9}{10}$

Passaggio 5.3.3

Imposta $10 x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $10 x - 9$ uguale a $0$ .

$10 x - 9 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Risolvi $10 x - 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = 9$

Passaggio 5.3.3.2.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = 9$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{9}{10}$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$ vera.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{9}{10}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{162}{{(- \frac{9}{10})}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{10}$ .

$\frac{162}{{(- 1)}^{3} {(\frac{9}{10})}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{162}{- {(\frac{9}{10})}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{10}$ .

$\frac{162}{- \frac{9^{3}}{10^{3}}}$

Passaggio 9.1.4

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$\frac{162}{- \frac{729}{10^{3}}}$

Passaggio 9.1.5

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$\frac{162}{- \frac{729}{1000}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$162 (- \frac{1000}{729})$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1000}{729}$ nel numeratore.

$162 (\frac{- 1000}{729})$

Passaggio 9.3.2

Scomponi $81$ da $162$ .

$81 (2) \frac{- 1000}{729}$

Passaggio 9.3.3

Scomponi $81$ da $729$ .

$81 \cdot 2 \frac{- 1000}{81 \cdot 9}$

Passaggio 9.3.4

Elimina il fattore comune.

$81 \cdot 2 \frac{- 1000}{81 \cdot 9}$

Passaggio 9.3.5

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{- 1000}{9})$

Passaggio 9.4

$2$ e $\frac{- 1000}{9}$ .

$\frac{2 \cdot - 1000}{9}$

Passaggio 9.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1000$ .

$\frac{- 2000}{9}$

Passaggio 9.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2000}{9}$

Passaggio 10

$x = - \frac{9}{10}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{9}{10}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{9}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{9}{10}$ nell'espressione.

$f (- \frac{9}{10}) = \frac{100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81}{- \frac{9}{10}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{9}{10}) = (100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{10}$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{10})}^{2}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{10}$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{10^{2}})) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (1 (\frac{9^{2}}{10^{2}})) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{9^{2}}{10^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.2.4

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.2.5

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.2.6

Elimina il fattore comune di $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{9}{10}) = (81 + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Somma $81$ e $81$ .

$f (- \frac{9}{10}) = 162 (- \frac{10}{9})$

Passaggio 11.2.3.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{10}{9}$ nel numeratore.

$f (- \frac{9}{10}) = 162 (\frac{- 10}{9})$

Passaggio 11.2.3.2.2

Scomponi $9$ da $162$ .

$f (- \frac{9}{10}) = 9 (18) (\frac{- 10}{9})$

Passaggio 11.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{9}{10}) = 9 \cdot (18 (\frac{- 10}{9}))$

Passaggio 11.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{9}{10}) = 18 \cdot - 10$

Passaggio 11.2.3.3

Moltiplica $18$ per $- 10$ .

$f (- \frac{9}{10}) = - 180$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- 180$ .

$y = - 180$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{9}{10}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{162}{{(\frac{9}{10})}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{10}$ .

$\frac{162}{\frac{9^{3}}{10^{3}}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$\frac{162}{\frac{729}{10^{3}}}$

Passaggio 13.1.3

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$\frac{162}{\frac{729}{1000}}$

Passaggio 13.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$162 (\frac{1000}{729})$

Passaggio 13.3

Elimina il fattore comune di $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $81$ da $162$ .

$81 (2) \frac{1000}{729}$

Passaggio 13.3.2

Scomponi $81$ da $729$ .

$81 \cdot 2 \frac{1000}{81 \cdot 9}$

Passaggio 13.3.3

Elimina il fattore comune.

$81 \cdot 2 \frac{1000}{81 \cdot 9}$

Passaggio 13.3.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{1000}{9})$

Passaggio 13.4

$2$ e $\frac{1000}{9}$ .

$\frac{2 \cdot 1000}{9}$

Passaggio 13.5

Moltiplica $2$ per $1000$ .

$\frac{2000}{9}$

Passaggio 14

$x = \frac{9}{10}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{9}{10}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{9}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9}{10}$ nell'espressione.

$f (\frac{9}{10}) = \frac{100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81}{\frac{9}{10}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{9}{10}) = (100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81) (\frac{10}{9})$

Passaggio 15.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{10}$ .

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (\frac{10}{9})$

Passaggio 15.2.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{10^{2}}) + 81) (\frac{10}{9})$

Passaggio 15.2.2.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (\frac{10}{9})$

Passaggio 15.2.2.4

Elimina il fattore comune di $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (\frac{10}{9})$

Passaggio 15.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9}{10}) = (81 + 81) (\frac{10}{9})$

Passaggio 15.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Somma $81$ e $81$ .

$f (\frac{9}{10}) = 162 (\frac{10}{9})$

Passaggio 15.2.3.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.2.1

Scomponi $9$ da $162$ .

$f (\frac{9}{10}) = 9 (18) (\frac{10}{9})$

Passaggio 15.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9}{10}) = 9 \cdot (18 (\frac{10}{9}))$

Passaggio 15.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9}{10}) = 18 \cdot 10$

Passaggio 15.2.3.3

Moltiplica $18$ per $10$ .

$f (\frac{9}{10}) = 180$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $180$ .

$y = 180$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$ .

$(- \frac{9}{10}, - 180)$ è un massimo locale

$(\frac{9}{10}, 180)$ è un minimo locale

Passaggio 17