Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 49 x^{2} + 36$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $49 x^{2} + 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49 x^{2}$ rispetto a $x$ è $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $49$ .

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Somma $98 x$ e $0$ .

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

Passaggio 1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.1.1

Moltiplica $49$ per $- 1$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.2.2

Sottrai $49 x^{2}$ da $98 x^{2}$ .

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.3.1

Riscrivi $49 x^{2}$ come ${(7 x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.3.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 7 x$ e $b = 6$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 7 x + 6$ e $g (x) = 7 x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \frac{d}{d x} (7 x - 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + 0) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Somma $7$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \cdot 7 + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.6.2

Sposta $7$ alla sinistra di $7 x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 \cdot (7 x + 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.8

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.10

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.11

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + 0)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.1

Somma $7$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) \cdot 7) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.12.2

Sposta $7$ alla sinistra di $7 x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 \cdot (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.14

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.14.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.14.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.14.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.14.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Combina i termini opposti in $x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x (7 \cdot 6)$ e $x (7 \cdot - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + 6 \cdot (7 x) + x (7 (7 x)) - 6 \cdot (7 x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.1.2

Sottrai $6 \cdot 7 x$ da $6 \cdot 7 x$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + 0 + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.1.3

Somma $x (7 (7 x)) + x (7 (7 x))$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x \cdot x) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 (x \cdot x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x^{2}) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.3

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x \cdot x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 (x \cdot x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x^{2}) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.6

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.7.1

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.7.2

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 12) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.8

Espandi $(- 14 x - 12) (7 x - 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x - 6) - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.9.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x \cdot x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.9.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 (x \cdot x)) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x^{2}) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.3

Moltiplica $- 14$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.4

Moltiplica $- 6$ per $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.5

Moltiplica $7$ per $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.1.6

Moltiplica $- 12$ per $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x + 72}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.2

Sottrai $84 x$ da $84 x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 0 + 72}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.9.3

Somma $- 98 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.3

Somma $49 x^{2}$ e $49 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{98 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.4

Sottrai $98 x^{2}$ da $98 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 72}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5.5

Somma $0$ e $72$ .

$f'' (x) = \frac{72}{x^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $49 x^{2} + 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49 x^{2}$ rispetto a $x$ è $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $2$ per $49$ .

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Somma $98 x$ e $0$ .

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.2.1.1

Moltiplica $49$ per $- 1$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.2.2

Sottrai $49 x^{2}$ da $98 x^{2}$ .

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.3.1

Riscrivi $49 x^{2}$ come ${(7 x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.3.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 7 x$ e $b = 6$ .

$f' (x) = \frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$7 x + 6 = 0$

$7 x - 6 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $7 x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $7 x + 6$ uguale a $0$ .

$7 x + 6 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Risolvi $7 x + 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 x = - 6$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - 6$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{7}$

Passaggio 5.3.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{6}{7}$

Passaggio 5.3.3

Imposta $7 x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $7 x - 6$ uguale a $0$ .

$7 x - 6 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Risolvi $7 x - 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 x = 6$

Passaggio 5.3.3.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = 6$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{6}{7}$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$ vera.

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{6}{7}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{72}{{(- \frac{6}{7})}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{{(- 1)}^{3} {(\frac{6}{7})}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{72}{- {(\frac{6}{7})}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{- \frac{6^{3}}{7^{3}}}$

Passaggio 9.1.4

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{72}{- \frac{216}{7^{3}}}$

Passaggio 9.1.5

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$\frac{72}{- \frac{216}{343}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$72 (- \frac{343}{216})$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{343}{216}$ nel numeratore.

$72 (\frac{- 343}{216})$

Passaggio 9.3.2

Scomponi $72$ da $216$ .

$72 \frac{- 343}{72 (3)}$

Passaggio 9.3.3

Elimina il fattore comune.

$72 \frac{- 343}{72 \cdot 3}$

Passaggio 9.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 343}{3}$

Passaggio 9.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{343}{3}$

Passaggio 10

$x = - \frac{6}{7}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{6}{7}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{6}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{6}{7}$ nell'espressione.

$f (- \frac{6}{7}) = \frac{49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36}{- \frac{6}{7}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{6}{7}) = (49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36) (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{6}{7}$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} {(\frac{6}{7})}^{2}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{6}{7}$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (1 (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{6^{2}}{7^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.2.4

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.2.5

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.2.6

Elimina il fattore comune di $49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{6}{7}) = (36 + 36) (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Somma $36$ e $36$ .

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (- \frac{7}{6})$

Passaggio 11.2.3.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{6}$ nel numeratore.

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (\frac{- 7}{6})$

Passaggio 11.2.3.2.2

Scomponi $6$ da $72$ .

$f (- \frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{- 7}{6})$

Passaggio 11.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{- 7}{6}))$

Passaggio 11.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{6}{7}) = 12 \cdot - 7$

Passaggio 11.2.3.3

Moltiplica $12$ per $- 7$ .

$f (- \frac{6}{7}) = - 84$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- 84$ .

$y = - 84$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{6}{7}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{72}{{(\frac{6}{7})}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{\frac{6^{3}}{7^{3}}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{72}{\frac{216}{7^{3}}}$

Passaggio 13.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$\frac{72}{\frac{216}{343}}$

Passaggio 13.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$72 (\frac{343}{216})$

Passaggio 13.3

Elimina il fattore comune di $72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $72$ da $216$ .

$72 \frac{343}{72 (3)}$

Passaggio 13.3.2

Elimina il fattore comune.

$72 \frac{343}{72 \cdot 3}$

Passaggio 13.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{343}{3}$

Passaggio 14

$x = \frac{6}{7}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{6}{7}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{6}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{6}{7}$ nell'espressione.

$f (\frac{6}{7}) = \frac{49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36}{\frac{6}{7}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{6}{7}) = (49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36) (\frac{7}{6})$

Passaggio 15.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{6}{7}$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

Passaggio 15.2.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

Passaggio 15.2.2.3

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

Passaggio 15.2.2.4

Elimina il fattore comune di $49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

Passaggio 15.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{6}{7}) = (36 + 36) (\frac{7}{6})$

Passaggio 15.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Somma $36$ e $36$ .

$f (\frac{6}{7}) = 72 (\frac{7}{6})$

Passaggio 15.2.3.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.2.1

Scomponi $6$ da $72$ .

$f (\frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{7}{6})$

Passaggio 15.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{7}{6}))$

Passaggio 15.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{6}{7}) = 12 \cdot 7$

Passaggio 15.2.3.3

Moltiplica $12$ per $7$ .

$f (\frac{6}{7}) = 84$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $84$ .

$y = 84$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$ .

$(- \frac{6}{7}, - 84)$ è un massimo locale

$(\frac{6}{7}, 84)$ è un minimo locale

Passaggio 17