Calcolo Esempi

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ come ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 2 - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 1.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.10.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Passaggio 1.2.13

Sottrai $3 x^{2}$ da $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Passaggio 1.2.14

$\frac{1}{3}$ e ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Passaggio 1.2.15

$- 3$ e $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Passaggio 1.2.16

$\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Passaggio 1.2.17

Sposta ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2.18

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.19.1

Scomponi $3$ da $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 1.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.3

Riordina i termini.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 2 - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{3})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

Passaggio 2.2.10

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.12

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.14.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.16

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.17

Sottrai $3 x^{2}$ da $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (- 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.18

$\frac{2}{3}$ e ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot (- 3 x^{2}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.19

$- 3$ e $\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 3 (2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}})}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.20

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.21

$\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} x^{2}}{3}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.22

Sposta ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.23

Scomponi $3$ da $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.24

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.24.1

Scomponi $3$ da $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.24.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.2.24.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (- \frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.26

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.27

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.28

$x^{2}$ e $\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} (2 x^{2})}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.29

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.29.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.29.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2 + 2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.29.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{4} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.30

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 \cdot x^{4}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.31

Riordina $2$ e $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.32

Per scrivere $2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.33

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.34

Moltiplica ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.34.1

Sposta ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.34.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.34.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.34.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.34.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.35

Semplifica $2 x {(- x^{3} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.36

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.36.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.36.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.36.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.36.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.37

Riscrivi $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.38

Moltiplica $\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.39

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.40

Moltiplica ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.40.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.40.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.40.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.41

Moltiplica $\frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.42

Somma $- \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 4 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2.4

Somma $- 2 x^{4}$ e $2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 0}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2.5

Somma $4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2.6

Somma $- \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ come ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 2 - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.2.10.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.2.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Passaggio 4.1.2.13

Sottrai $3 x^{2}$ da $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Passaggio 4.1.2.14

$\frac{1}{3}$ e ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Passaggio 4.1.2.15

$- 3$ e $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Passaggio 4.1.2.16

$\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Passaggio 4.1.2.17

Sposta ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.2.18

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.19.1

Scomponi $3$ da $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 4.1.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.2.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ come ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Poni $2 - x^{3}$ uguale a $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{3} = - 2$

Passaggio 6.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{3} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{3} = - 2$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Passaggio 6.3.3.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{2}$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, \sqrt[3]{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{4 (1)}{{(- {(1)}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{4}{{(- 1^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{4}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{4}{{(- 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$- \frac{4}{1^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{4}{1}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Dividi $4$ per $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4$

Passaggio 10

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = (1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Passaggio 11.2.1.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{1}$

Passaggio 11.2.1.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Passaggio 11.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = 2$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt[3]{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(\sqrt[3]{2})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Rimuovi le parentesi.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {\sqrt[3]{2}}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(2^{\frac{1}{3}})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.2.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{1} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.2.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 1 \cdot 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 13.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 13.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{5}}$

Passaggio 13.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

Passaggio 13.2.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

Passaggio 13.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, \sqrt[3]{2}) \cup (\sqrt[3]{2}, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata prima $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{{(2 - {(0)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.2.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 + 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.2.2.1.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{2^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.2.2.1.3

Dividi $0$ per $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = - 0 + 1$

Passaggio 14.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Passaggio 14.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 14.2.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1.13$ , dell'intervallo $(1, \sqrt[3]{2})$ nella derivata prima $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.13$ nell'espressione.

$f' (1.13) = - \frac{{(1.13)}^{2}}{{(2 - {(1.13)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.1

Eleva $1.13$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - {1.13}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.3.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.2.1.1

Eleva $1.13$ alla potenza di $3$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1 \cdot 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1.442897$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.3.2.1.2.2

Sottrai $1.442897$ da $2$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{0.557103}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.3.2.1.2.3

Eleva $0.557103$ alla potenza di $\frac{2}{3}$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{0.67705455} + 1$

Passaggio 14.3.2.1.3

Dividi $1.2769$ per $0.67705455$ .

$f' (1.13) = - 1 \cdot 1.88596323 + 1$

Passaggio 14.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1.88596323$ .

$f' (1.13) = - 1.88596323 + 1$

Passaggio 14.3.2.2

Somma $- 1.88596323$ e $1$ .

$f' (1.13) = - 0.88596323$

Passaggio 14.3.2.3

La risposta finale è $- 0.88596323$ .

$- 0.88596323$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(\sqrt[3]{2}, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(2 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.4.2.1.2.2

Sottrai $64$ da $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.4.2.2

La risposta finale è $- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 14.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un massimo locale.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 14.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = \sqrt[3]{2}$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 14.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ .

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 15