Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica ${(x^{2} - 4)}^{2}$ per $1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $x^{2} - 4$ da ${(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $x^{2} - 4$ da ${(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$- 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $x^{2} - 4$ da $- 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

$- 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $x^{2} - 4$ da $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))$ .

$- 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Scomponi $x^{2} - 4$ da ${(x^{2} - 4)}^{4}$ .

$- 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.9

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.14

Somma $1$ e $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 8 \frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.16

$- 8$ e $\frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.2.1

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 1.18.2.2

Moltiplica $8$ per $- 4$ .

$- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} - 32) - (- 24 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{3}}{{({(x^{2} - 4)}^{3})}^{2}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 4)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} - 32) - (- 24 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} - 32) - (- 24 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 24 x^{2} - 32$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 24 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 24 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 24 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 24 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x + 0) - (- 24 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.7

Somma $- 48 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - (- 24 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - (- 24 x^{2} - 32) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - (- 24 x^{2} - 32) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - (- 24 x^{2} - 32) (3 {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 3 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 3 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 3 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 3 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 3 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 3 (- 24 x^{2} - 32) (2 \cdot ({(x^{2} - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.5.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 6 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 6 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.5.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Moltiplica $\frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 6 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} - 4)}^{6}} + 0$

Passaggio 2.5.7.2

Somma $- \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 6 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) - 6 (- 24 x^{2} - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) + (- 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32) ({(x^{2} - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Scomponi ${(x^{2} - 4)}^{2} x$ da ${(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x) + (- 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32) {(x^{2} - 4)}^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Scomponi ${(x^{2} - 4)}^{2} x$ da ${(x^{2} - 4)}^{3} (- 48 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} x ((x^{2} - 4) \cdot (- 48)) + (- 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32) {(x^{2} - 4)}^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Scomponi ${(x^{2} - 4)}^{2} x$ da $(- 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32) {(x^{2} - 4)}^{2} x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} x ((x^{2} - 4) \cdot (- 48)) + {(x^{2} - 4)}^{2} x (- 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.1.3

Scomponi ${(x^{2} - 4)}^{2} x$ da ${(x^{2} - 4)}^{2} x ((x^{2} - 4) \cdot (- 48)) + {(x^{2} - 4)}^{2} x (- 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} x ((x^{2} - 4) \cdot (- 48) - 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 2^{2})}^{2} x ((x^{2} - 4) \cdot (- 48) - 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{((x + 2) (x - 2))}^{2} x ((x^{2} - 4) \cdot (- 48) - 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.4

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x ((x^{2} - 4) \cdot (- 48) - 6 (- 24 x^{2}) - 6 \cdot - 32)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.1

Moltiplica $- 24$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x ((x^{2} - 4) \cdot (- 48) + 144 x^{2} - 6 \cdot - 32)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.5.2

Moltiplica $- 6$ per $- 32$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x ((x^{2} - 4) \cdot (- 48) + 144 x^{2} + 192)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (x^{2} \cdot - 48 - 4 \cdot - 48 + 144 x^{2} + 192)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.6.2

Sposta $- 48$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (- 48 \cdot x^{2} - 4 \cdot - 48 + 144 x^{2} + 192)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.6.3

Moltiplica $- 4$ per $- 48$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (- 48 x^{2} + 192 + 144 x^{2} + 192)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.7

Somma $- 48 x^{2}$ e $144 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (96 x^{2} + 192 + 192)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.8

Somma $192$ e $192$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (96 x^{2} + 384)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.9

Scomponi $96$ da $96 x^{2} + 384$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.9.1

Scomponi $96$ da $96 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (96 (x^{2}) + 384)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.9.2

Scomponi $96$ da $384$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (96 x^{2} + 96 \cdot 4)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.9.3

Scomponi $96$ da $96 x^{2} + 96 \cdot 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (96 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x \cdot (96 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.3

Sposta $96$ alla sinistra di ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x$ .

$f'' (x) = - \frac{96 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{96 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{6}}$

Passaggio 2.6.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{96 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4)}{{((x + 2) (x - 2))}^{6}}$

Passaggio 2.6.4.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{96 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.6.5

Elimina il fattore comune di ${(x + 2)}^{2}$ e ${(x + 2)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Scomponi ${(x + 2)}^{2}$ da $96 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} (96 {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.1

Scomponi ${(x + 2)}^{2}$ da ${(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} (96 {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{2} ({(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{6})}$

Passaggio 2.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 2)}^{2} (96 {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{2} ({(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{6})}$

Passaggio 2.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{96 {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.6.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ e ${(x - 2)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da $96 {(x - 2)}^{2} x (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x - 2)}^{2} (96 x (x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.6.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.2.1

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x - 2)}^{2} (96 x (x^{2} + 4))}{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4})}$

Passaggio 2.6.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{{(x - 2)}^{2} (96 x (x^{2} + 4))}{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4})}$

Passaggio 2.6.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{96 x (x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6