Calcolo Esempi

$64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Passaggio 1

Scrivi $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ come funzione.

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 x^{2}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{54}{x}$ rispetto a $x$ è $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

$- 54$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.1.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.1.5.2.3

Somma $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $128 x$ rispetto a $x$ è $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $128$ per $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{54}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$128 - 54 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$128 - 54 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$128 - 54 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 2.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 54 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 2.2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$128 - 54 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 2.2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$128 - 54 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 2.2.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$128 - 54 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 2.2.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$128 - 54 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 2.2.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$128 - 54 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 2.2.3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 54$ .

$128 + 108 x^{- 3}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 108 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.2.4.2

$108$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{108}{x^{3}}$

Passaggio 2.2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{108}{x^{3}} + 128$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{108}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 128$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{108}{x^{3}} + 128 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 128 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $128$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{108}{x^{3}} = - 128$

Passaggio 3.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{3}, 1$

Passaggio 3.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{3}$

Passaggio 3.4

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $\frac{108}{x^{3}} = - 128$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{108}{x^{3}} = - 128$ per $x^{3}$ .

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$108 = - 128 x^{3}$

Passaggio 3.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 128 x^{3} = 108$ .

$- 128 x^{3} = 108$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $108$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 128 x^{3} - 108 = 0$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $- 4$ da $- 128 x^{3} - 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $- 4$ da $- 128 x^{3}$ .

$- 4 (32 x^{3}) - 108 = 0$

Passaggio 3.5.3.2

Scomponi $- 4$ da $- 108$ .

$- 4 (32 x^{3}) - 4 \cdot 27 = 0$

Passaggio 3.5.3.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 (32 x^{3}) - 4 (27)$ .

$- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$

Passaggio 3.5.4

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$ .

$\frac{- 4 (32 x^{3} + 27)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 (32 x^{3} + 27)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Dividi $32 x^{3} + 27$ per $1$ .

$32 x^{3} + 27 = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1

Dividi $0$ per $- 4$ .

$32 x^{3} + 27 = 0$

Passaggio 3.5.5

Sottrai $27$ da entrambi i lati dell'equazione.

$32 x^{3} = - 27$

Passaggio 3.5.6

Dividi per $32$ ciascun termine in $32 x^{3} = - 27$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Dividi per $32$ ciascun termine in $32 x^{3} = - 27$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{- 27}{32}$

Passaggio 3.5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{- 27}{32}$

Passaggio 3.5.6.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{- 27}{32}$

Passaggio 3.5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{3} = - \frac{27}{32}$

Passaggio 3.5.7

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{- \frac{27}{32}}$

Passaggio 3.5.8

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{27}{32}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1

Riscrivi $- \frac{27}{32}$ come ${(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{27}{32}}$

Passaggio 3.5.8.1.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{3}$ su $27$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3^{3} \cdot 1}{32}}$

Passaggio 3.5.8.1.3

Scomponi la potenza perfetta $2^{3}$ su $32$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3^{3} \cdot 1}{2^{3} \cdot 4}}$

Passaggio 3.5.8.1.4

Riordina la frazione $\frac{3^{3} \cdot 1}{2^{3} \cdot 4}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} ({(\frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.5.8.1.5

Riscrivi ${(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}$ come ${(- \frac{3}{2})}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4}}$

Passaggio 3.5.8.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = - \frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3.5.8.3

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 3.5.8.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 3.5.8.5

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Passaggio 3.5.8.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.6.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.5.8.6.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.5.8.6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.5.8.6.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 3.5.8.6.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.5.8.6.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.5.8.6.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.5.8.6.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.6.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.5.8.6.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 3.5.8.6.5.5

Calcola l'esponente.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 3.5.8.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.7.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Passaggio 3.5.8.7.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Passaggio 3.5.8.7.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.7.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Passaggio 3.5.8.7.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.5.8.7.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.5.8.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.8.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.8.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.5.8.8.1.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{2}$ .

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Passaggio 3.5.8.8.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.5.8.8.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = - 3 \frac{\sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.5.8.8.2

$- 3$ e $\frac{\sqrt[3]{2}}{4}$ .

$x = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.5.8.8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ in $f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 {(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})}^{2} + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})}^{2}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 \sqrt[3]{2})}^{2}}{4^{2}})) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}})) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (1 (\frac{3^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}})) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{3^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{9 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{9 \sqrt[3]{2^{2}}}{4^{2}}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{9 \sqrt[3]{4}}{4^{2}}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{9 \sqrt[3]{4}}{16}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.6

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.6.1

Scomponi $16$ da $64$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 16 (4) (\frac{9 \sqrt[3]{4}}{16}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 16 \cdot (4 (\frac{9 \sqrt[3]{4}}{16})) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 4 (9 \sqrt[3]{4}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.7

Moltiplica $9$ per $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.8

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 54 (- \frac{4}{3 \sqrt[3]{2}}) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{3 \sqrt[3]{2}}$ nel numeratore.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 54 (\frac{- 4}{3 \sqrt[3]{2}}) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.9.2

Scomponi $3$ da $54$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 3 (18) (\frac{- 4}{3 \sqrt[3]{2}}) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.9.3

Scomponi $3$ da $3 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 3 (18) (\frac{- 4}{3 (\sqrt[3]{2})}) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.9.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 3 \cdot (18 (\frac{- 4}{3 \sqrt[3]{2}})) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.9.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 18 (\frac{- 4}{\sqrt[3]{2}}) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.10

$18$ e $\frac{- 4}{\sqrt[3]{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + \frac{18 \cdot - 4}{\sqrt[3]{2}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.11

Moltiplica $18$ per $- 4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + \frac{- 72}{\sqrt[3]{2}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72}{\sqrt[3]{2}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.13

Moltiplica $\frac{72}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - (\frac{72}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.14.1

Moltiplica $\frac{72}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14.4

Somma $1$ e $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.14.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.14.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.14.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.15

Elimina il fattore comune di $72$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.15.1

Scomponi $2$ da $72 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (36 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.15.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (36 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 (1)} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (36 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 1} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{36 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{1} - 3$

Passaggio 4.1.2.1.15.2.4

Dividi $36 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - (36 {\sqrt[3]{2}}^{2}) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.16

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - (36 \sqrt[3]{2^{2}}) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.17

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - (36 \sqrt[3]{4}) - 3$

Passaggio 4.1.2.1.18

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - 36 \sqrt[3]{4} - 3$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $36 \sqrt[3]{4}$ da $36 \sqrt[3]{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 0 - 3$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = - 3$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ in $f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ è $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, - 3)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, - 3)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) \cup (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.04494078$ nell'espressione.

$f'' (- 1.04494078) = \frac{108}{{(- 1.04494078)}^{3}} + 128$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.04494078$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.04494078) = \frac{108}{- 1.14097215} + 128$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $108$ per $- 1.14097215$ .

$f'' (- 1.04494078) = - 94.65612275 + 128$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 94.65612275$ e $128$ .

$f'' (- 1.04494078) = 33.34387724$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $33.34387724$ .

$33.34387724$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 1.04494078$ , la derivata seconda è $33.34387724$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.84494078$ nell'espressione.

$f'' (- 0.84494078) = \frac{108}{{(- 0.84494078)}^{3}} + 128$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.84494078$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.84494078) = \frac{108}{- 0.60322429} + 128$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $108$ per $- 0.60322429$ .

$f'' (- 0.84494078) = - 179.03788142 + 128$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 179.03788142$ e $128$ .

$f'' (- 0.84494078) = - 51.03788142$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 51.03788142$ .

$- 51.03788142$

Passaggio 7.3

Per $- 0.84494078$ , la derivata seconda è $- 51.03788142$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, \infty)$ .

Decrescente su $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, - 3)$ .

$(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, - 3)$

Passaggio 9