Calcolo Esempi

$\sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin (x) - \cos (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x) + \cos (x)$ .

$- \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.3

Frazioni separate.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.7

Frazioni separate.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 3.9

Dividi $0$ per $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Passaggio 3.10

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.11

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 3.12

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.12.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.12.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.12.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.12.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.12.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.12.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 3.13

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 3.14

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 3.15

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 3.16

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 3.16.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 3.16.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 3.16.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 3.16.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 3.16.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 3.17

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 3.17.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.17.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.17.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.17.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.18

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ per trovare il valore di $y$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ è $(\frac{π}{4}, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{π}{4}, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $\frac{5 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.3.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.3.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.3.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.3.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $- \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{5 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ è $(\frac{5 π}{4}, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{5 π}{4}, 0)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}) \cup (\frac{5 π}{4}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{4})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.68539816$ nell'espressione.

$f'' (0.68539816) = - \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$ .

$- \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0.68539816$ , la derivata seconda è $0.14118577$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, \frac{π}{4})$ .

Crescente su $(- \infty, \frac{π}{4})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.35619449$ nell'espressione.

$f'' (2.35619449) = - \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $- \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$ .

$- \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$

Passaggio 7.3

Per $2.35619449$ , la derivata seconda è $- 1.41421356$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ .

Decrescente su $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.02699081$ nell'espressione.

$f'' (4.02699081) = - \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$

Passaggio 8.2

La risposta finale è $- \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$ .

$- \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $4.02699081$ , la derivata seconda è $0.14118577$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$

Passaggio 10