Calcolo Esempi

$x^{2} (x - 3) (x - 6)$

Passaggio 1

Scrivi $x^{2} (x - 3) (x - 6)$ come funzione.

$f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} (x - 3)$ e $g (x) = x - 6$ .

$x^{2} (x - 3) \frac{d}{d x} [x - 6] + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$x^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (x - 3) (1 + 0) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{2} (x - 3) \cdot 1 + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Passaggio 2.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 3$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.4.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.4.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} + (x - 3) (2 x))$

Passaggio 2.1.4.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 3$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} + 2 \cdot (x - 3) x)$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) (x^{2} + 2 (x - 3) x)$

Passaggio 2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) (x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 3) x)$

Passaggio 2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) x^{2} + (x - 6) (2 x \cdot x) + (x - 6) (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + (x - 6) (2 x \cdot x) + (x - 6) (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + (x - 6) (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.7

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.8.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.8.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.8.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.8.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{1} x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{1 + 2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 (x^{1} x)) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 (x^{1} x^{1})) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x^{1 + 1}) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.7

Somma $1$ e $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x^{2}) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{1 + 2} - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.10

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 (x^{1} x)) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 (x^{1} x^{1})) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 x^{1 + 1}) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.14

Somma $1$ e $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 x^{2}) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.15

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.16

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + x (- 6 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.18

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.19

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.20

Somma $1$ e $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Passaggio 2.1.5.8.21

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (- 6 x)$

Passaggio 2.1.5.8.22

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{2} + 36 x$

Passaggio 2.1.5.8.23

Sottrai $6 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x$

Passaggio 2.1.5.8.24

Somma $x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x^{2} + 36 x$

Passaggio 2.1.5.8.25

Sottrai $18 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

Passaggio 2.1.5.8.26

Somma $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x^{2} + 36 x$

Passaggio 2.1.5.8.27

Sottrai $24 x^{2}$ da $- 3 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 27 x^{2} + 36 x$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 27 x^{2} + 36 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 27$ .

$12 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [36 x]$

Passaggio 2.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 54 x + 36 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} - 54 x + 36 \cdot 1$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $36$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 54 x + 36$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 54 x + 36$ .

$12 x^{2} - 54 x + 36$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 54 x + 36 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 54 x + 36 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $6$ da $12 x^{2} - 54 x + 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $6$ da $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 54 x + 36 = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $6$ da $- 54 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 36 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $6$ da $36$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 6 (6) = 0$

Passaggio 3.2.4

Scomponi $6$ da $6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 9 x) + 6 (6) = 0$

Passaggio 3.2.5

Scomponi $6$ da $6 (2 x^{2} - 9 x) + 6 (6)$ .

$6 (2 x^{2} - 9 x + 6) = 0$

Passaggio 3.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (2 x^{2} - 9 x + 6) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (2 x^{2} - 9 x + 6) = 0$ .

$\frac{6 (2 x^{2} - 9 x + 6)}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (2 x^{2} - 9 x + 6)}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $2 x^{2} - 9 x + 6$ per $1$ .

$2 x^{2} - 9 x + 6 = \frac{0}{6}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$2 x^{2} - 9 x + 6 = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 9$ e $c = 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 6)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $6$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.1.3

Sottrai $48$ da $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $6$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.3

Sottrai $48$ da $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 3.7.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{9 + \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.8.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $6$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.8.1.3

Sottrai $48$ da $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 3.8.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{9 - \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{9 + \sqrt{33}}{4}, \frac{9 - \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3.68614066$ in $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.68614066$ nell'espressione.

$f (3.68614066) = {(3.68614066)}^{2} ((3.68614066) - 3) ((3.68614066) - 6)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $3.68614066$ alla potenza di $2$ .

$f (3.68614066) = 13.58763297 ((3.68614066) - 3) ((3.68614066) - 6)$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $3$ da $3.68614066$ .

$f (3.68614066) = 13.58763297 \cdot (0.68614066 ((3.68614066) - 6))$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $13.58763297$ per $0.68614066$ .

$f (3.68614066) = 9.32302748 ((3.68614066) - 6)$

Passaggio 4.1.2.4

Sottrai $6$ da $3.68614066$ .

$f (3.68614066) = 9.32302748 \cdot - 2.31385933$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $9.32302748$ per $- 2.31385933$ .

$f (3.68614066) = - 21.57217419$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $- 21.57217419$ .

$- 21.57217419$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $3.68614066$ in $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ è $(3.68614066, - 21.57217419)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(3.68614066, - 21.57217419)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $0.81385933$ in $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.81385933$ nell'espressione.

$f (0.81385933) = {(0.81385933)}^{2} ((0.81385933) - 3) ((0.81385933) - 6)$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $0.81385933$ alla potenza di $2$ .

$f (0.81385933) = 0.66236702 ((0.81385933) - 3) ((0.81385933) - 6)$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $3$ da $0.81385933$ .

$f (0.81385933) = 0.66236702 \cdot (- 2.18614066 ((0.81385933) - 6))$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $0.66236702$ per $- 2.18614066$ .

$f (0.81385933) = - 1.44802748 ((0.81385933) - 6)$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $6$ da $0.81385933$ .

$f (0.81385933) = - 1.44802748 \cdot - 5.18614066$

Passaggio 4.3.2.5

Moltiplica $- 1.44802748$ per $- 5.18614066$ .

$f (0.81385933) = 7.50967419$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $7.50967419$ .

$7.50967419$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $0.81385933$ in $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ è $(0.81385933, 7.50967419)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0.81385933, 7.50967419)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(3.68614066, - 21.57217419), (0.81385933, 7.50967419)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0.81385933) \cup (0.81385933, 3.68614066) \cup (3.68614066, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0.81385933)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.71385933$ nell'espressione.

$f'' (0.71385933) = 12 {(0.71385933)}^{2} - 54 \cdot 0.71385933 + 36$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.71385933$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.71385933) = 12 \cdot 0.50959515 - 54 \cdot 0.71385933 + 36$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0.50959515$ .

$f'' (0.71385933) = 6.11514185 - 54 \cdot 0.71385933 + 36$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 54$ per $0.71385933$ .

$f'' (0.71385933) = 6.11514185 - 38.54840427 + 36$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $38.54840427$ da $6.11514185$ .

$f'' (0.71385933) = - 32.43326241 + 36$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 32.43326241$ e $36$ .

$f'' (0.71385933) = 3.56673758$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $3.56673758$ .

$3.56673758$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0.71385933$ , la derivata seconda è $3.56673758$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0.81385933)$ .

Crescente su $(- \infty, 0.81385933)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.81385933, 3.68614066)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.25$ nell'espressione.

$f'' (2.25) = 12 {(2.25)}^{2} - 54 \cdot 2.25 + 36$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.25$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.25) = 12 \cdot 5.0625 - 54 \cdot 2.25 + 36$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $5.0625$ .

$f'' (2.25) = 60.75 - 54 \cdot 2.25 + 36$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 54$ per $2.25$ .

$f'' (2.25) = 60.75 - 121.5 + 36$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $121.5$ da $60.75$ .

$f'' (2.25) = - 60.75 + 36$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 60.75$ e $36$ .

$f'' (2.25) = - 24.75$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 24.75$ .

$- 24.75$

Passaggio 7.3

Per $2.25$ , la derivata seconda è $- 24.74\overline{9}$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0.81385933, 3.68614066)$ .

Decrescente su $(0.81385933, 3.68614066)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3.68614066, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.78614066$ nell'espressione.

$f'' (3.78614066) = 12 {(3.78614066)}^{2} - 54 \cdot 3.78614066 + 36$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3.78614066$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3.78614066) = 12 \cdot 14.3348611 - 54 \cdot 3.78614066 + 36$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $12$ per $14.3348611$ .

$f'' (3.78614066) = 172.01833331 - 54 \cdot 3.78614066 + 36$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 54$ per $3.78614066$ .

$f'' (3.78614066) = 172.01833331 - 204.45159572 + 36$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $204.45159572$ da $172.01833331$ .

$f'' (3.78614066) = - 32.43326241 + 36$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 32.43326241$ e $36$ .

$f'' (3.78614066) = 3.56673758$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $3.56673758$ .

$3.56673758$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $3.78614066$ , la derivata seconda è $3.56673758$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(3.68614066, \infty)$ .

Crescente su $(3.68614066, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(0.81385933, 7.50967419), (3.68614066, - 21.57217419)$ .

$(0.81385933, 7.50967419), (3.68614066, - 21.57217419)$

Passaggio 10