Calcolo Esempi

$\frac{x + 3}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x + 3}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 (x + 3) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (x + 3) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 2 (x + 3))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x - 2 (x + 3)}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 3}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{x - 2 x - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{- x - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.4

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.6

Riscrivi $- (x + 6)$ come $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{- 1 (x + 6)}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x + 6}{x^{3}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x + 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x^{3}}] + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{x^{3} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.5.2

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.7.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.7.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.7.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} x - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.7.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (x + 6) x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.7.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $\frac{x + 6}{x^{3}}$ per $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + 0$

Passaggio 2.2.6.2

Somma $- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$ e $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x - 3 x - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$- \frac{x - 3 x - 18}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.2.2

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$- \frac{- 2 x - 18}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.3

Scomponi $2$ da $- 2 x - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$- \frac{2 (- x) - 18}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.3.2

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$- \frac{2 (- x) + 2 (- 9)}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (- 9)$ .

$- \frac{2 (- x - 9)}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{2 (- (x) - 9)}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.5

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x) - 1 (9))}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x + 9))}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.7

Riscrivi $- (x + 9)$ come $- 1 (x + 9)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x + 9))}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7.10

Moltiplica $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x + 9) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + 9) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + 9) = 0$ .

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3.1.2.1.2

Dividi $x + 9$ per $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x + 9 = 0$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 9$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 9$ in $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9$ nell'espressione.

$f (- 9) = \frac{(- 9) + 3}{{(- 9)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Somma $- 9$ e $3$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{{(- 9)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{81}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$f (- 9) = \frac{3 (- 2)}{81}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Passaggio 4.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 9) = \frac{- 2}{27}$

Passaggio 4.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 9) = - \frac{2}{27}$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $- \frac{2}{27}$ .

$- \frac{2}{27}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $- 9$ in $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ è $(- 9, - \frac{2}{27})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 9)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9.1$ nell'espressione.

$f'' (- 9.1) = \frac{2 ((- 9.1) + 9)}{{(- 9.1)}^{4}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $- 9.1$ e $9$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{{(- 9.1)}^{4}}$

Passaggio 6.2.2

Eleva $- 9.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{6857.4961}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $2$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{- 0.2}{6857.4961}$

Passaggio 6.2.4

Dividi $- 0.2$ per $6857.4961$ .

$f'' (- 9.1) = - 0.00002916$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- 0.00002916$ .

$- 0.00002916$

Passaggio 6.3

Per $- 9.1$ , la derivata seconda è $- 2.91651642 E - 5$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 9)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 9)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 9, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8.9$ nell'espressione.

$f'' (- 8.9) = \frac{2 ((- 8.9) + 9)}{{(- 8.9)}^{4}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $- 8.9$ e $9$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{{(- 8.9)}^{4}}$

Passaggio 7.2.2

Eleva $- 8.9$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{6274.2241}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $2$ per $0.1$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{0.2}{6274.2241}$

Passaggio 7.2.4

Dividi $0.2$ per $6274.2241$ .

$f'' (- 8.9) = 0.00003187$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $0.00003187$ .

$0.00003187$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 8.9$ , la derivata seconda è $3.18764514 E - 5$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 9, \infty)$ .

Crescente su $(- 9, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- 9, - \frac{2}{27})$ .

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Passaggio 9