Calcolo Esempi

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x \ln (| x |)$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

$\frac{1}{| x |}$ e $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.5

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{x}{| x |}$ per $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.10

Somma $1$ e $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.11

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.15

Somma $1$ e $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Passaggio 1.17

Moltiplica $\ln (| x |)$ per $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Passaggio 1.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 1.18.2

$10$ e $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 1.18.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.3.1

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 1.18.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 1.18.3.2.2

Dividi $10$ per $1$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 + 10 \ln (| x |)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 \ln (| x |)$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\frac{1}{| x |}$ per $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

Passaggio 2.2.5

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Passaggio 2.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Passaggio 2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

Passaggio 2.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

Passaggio 2.2.10

$10$ e $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $0$ e $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Passaggio 2.3.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Scomponi $x$ da $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x \ln (| x |)$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4

$\frac{1}{| x |}$ e $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.5

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $\frac{x}{| x |}$ per $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.10

Somma $1$ e $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.11

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.15

Somma $1$ e $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.17

Moltiplica $\ln (| x |)$ per $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Passaggio 4.1.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 4.1.18.2

$10$ e $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 4.1.18.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.18.3.1

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 4.1.18.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.18.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 4.1.18.3.2.2

Dividi $10$ per $1$ .

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 + 10 \ln (| x |)$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 \ln (| x |) = - 10$

Passaggio 5.3

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 \ln (| x |) = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 \ln (| x |) = - 10$ .

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $\ln (| x |)$ per $1$ .

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 10$ per $10$ .

$\ln (| x |) = - 1$

Passaggio 5.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\ln (| x |) = - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = | x |$

Passaggio 5.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Riscrivi l'equazione come $| x | = e^{- 1}$ .

$| x | = e^{- 1}$

Passaggio 5.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$| x | = \frac{1}{e}$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{1}{e}$

Passaggio 5.6.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{e}$

Passaggio 5.6.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{e}$

Passaggio 5.6.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta l'argomento in $\ln (| x |)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$| x | \leq 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi $| x | \leq 0$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 6.2.1.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 0$

Passaggio 6.2.1.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 6.2.1.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 6.2.2

Trova l'intersezione di $x \leq 0$ e $x \geq 0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.2.3

Risolvi $- x \leq 0$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x \geq 0$

Passaggio 6.2.3.2

Trova l'intersezione di $x \geq 0$ e $x < 0$ .

Nessuna soluzione

Passaggio 6.2.4

Trova l'unione delle soluzioni.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{e}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

Passaggio 9

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$10 e$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{e}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{e}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{e}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{e}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

$10$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

Passaggio 11.2.2

$\frac{1}{e}$ corrisponde approssimativamente a $0.36787944$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi $\frac{1}{e}$ come $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Passaggio 11.2.4

Riscrivi $\ln (1 e^{- 1})$ come $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Passaggio 11.2.5

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 1$ dall'esponente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Passaggio 11.2.6

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Passaggio 11.2.8

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Passaggio 11.2.9

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Passaggio 11.2.10

Moltiplica $\frac{10}{e} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.10.1

$\frac{10}{e}$ e $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Passaggio 11.2.10.2

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

Passaggio 11.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

Passaggio 11.2.12

La risposta finale è $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{e}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$10 (- e)$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 e$

Passaggio 14

$x = - \frac{1}{e}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{e}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{e}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{e}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica $10 (- \frac{1}{e})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Passaggio 15.2.1.2

$- 10$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Passaggio 15.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Passaggio 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ corrisponde approssimativamente a $- 0.36787944$ , che è un valore negativo, perciò rendi negativo $- \frac{1}{e}$ ed elimina il valore assoluto

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Passaggio 15.2.4

Riscrivi $\frac{1}{e}$ come $1 e^{- 1}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Passaggio 15.2.5

Riscrivi $\ln (1 e^{- 1})$ come $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Passaggio 15.2.6

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 1$ dall'esponente.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Passaggio 15.2.7

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Passaggio 15.2.9

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Passaggio 15.2.10

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

Passaggio 15.2.11

Moltiplica $- \frac{10}{e} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

Passaggio 15.2.11.2

Moltiplica $\frac{10}{e}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

Passaggio 15.2.12

La risposta finale è $\frac{10}{e}$ .

$y = \frac{10}{e}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 10 x \ln (| x |)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ è un minimo locale

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ è un massimo locale

Passaggio 17