Calcolo Esempi

$6 x^{\frac{4}{3}} - 7 x^{\frac{1}{3}} + 8$

Passaggio 1

Scrivi $6 x^{\frac{4}{3}} - 7 x^{\frac{1}{3}} + 8$ come funzione.

$f (x) = 6 x^{\frac{4}{3}} - 7 x^{\frac{1}{3}} + 8$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{\frac{4}{3}} - 7 x^{\frac{1}{3}} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.7

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.8

$6$ e $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $4$ per $6$ .

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.10

Scomponi $3$ da $24 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.11.4

Dividi $8 x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.9

$- 7$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 7 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.9

$8$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{7}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{7}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 3.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Passaggio 3.3.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Passaggio 3.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Passaggio 3.3.11

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.13.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Passaggio 3.3.13.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.13.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.14

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 3.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{7}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.3.16

Moltiplica $\frac{7}{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.3.17

Moltiplica $\frac{7}{3}$ per $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 3.3.18

Moltiplica $7$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 3.3.19

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.6.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.7

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.8

$6$ e $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.9

Moltiplica $4$ per $6$ .

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.10

Scomponi $3$ da $24 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.11.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.2.11.4

Dividi $8 x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.9

$- 7$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 7 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = 8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Passaggio 6.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $3 x^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ per $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 \cdot 3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$8 \cdot 3 x^{\frac{3}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.2.5

Dividi $3$ per $3$ .

$8 \cdot 3 x^{1} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.3

Semplifica $8 \cdot 3 x^{1}$ .

$8 \cdot 3 x - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.4

Moltiplica $8$ per $3$ .

$24 x - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$24 x + \frac{- 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$24 x + \frac{- 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$24 x - 7 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$24 x - 7 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

$24 x - 7 = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$24 x = 7$

Passaggio 6.4.2

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x = 7$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{7}{24}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 x}{24} = \frac{7}{24}$

Passaggio 6.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{24}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 7.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$8 \sqrt[3]{x} - \frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.3.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{7}{24}, 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{7}{24}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8}{3 {(\frac{7}{24})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{24}$ .

$\frac{8}{3 \frac{7^{\frac{2}{3}}}{24^{\frac{2}{3}}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.2

$3$ e $\frac{7^{\frac{2}{3}}}{24^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8}{\frac{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{24^{\frac{2}{3}}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$8 \frac{24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.4

$8$ e $\frac{24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{24}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 \frac{7^{\frac{5}{3}}}{24^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 10.1.6

$9$ e $\frac{7^{\frac{5}{3}}}{24^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{\frac{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{24^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 10.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + 14 \frac{24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.8

$14$ e $\frac{24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2

Per scrivere $\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $7^{\frac{2}{3}}$ per $7^{\frac{3}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1

Sposta $7^{\frac{3}{3}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot (7^{\frac{3}{3}} \cdot 7^{\frac{2}{3}})} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.3.4

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}) + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}) + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{1}) + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Moltiplica $8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{24 \cdot 24^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5.1.2

Moltiplica $24$ per $24^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.2.1

Moltiplica $24$ per $24^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.2.1.1

Eleva $24$ alla potenza di $1$ .

$\frac{24^{1} \cdot 24^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{24^{1 + \frac{2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5.1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{24^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{24^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5.1.2.4

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5.2

Calcola l'esponente.

$\frac{24^{\frac{5}{3}} \cdot 7 + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5.3

Sposta $7$ alla sinistra di $24^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{7 \cdot 24^{\frac{5}{3}} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5.4

Somma $7 \cdot 24^{\frac{5}{3}}$ e $14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{21 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.6

Scomponi $3$ da $21 \cdot 24^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3 (7 \cdot 24^{\frac{5}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Scomponi $3$ da $9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3 (7 \cdot 24^{\frac{5}{3}})}{3 (3 \cdot 7^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 10.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (7 \cdot 24^{\frac{5}{3}})}{3 (3 \cdot 7^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 10.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.8

Sposta $7^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{5}{3}} \cdot 7^{- 1}}$

Passaggio 10.9

Moltiplica $7^{\frac{5}{3}}$ per $7^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Sposta $7^{- 1}$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot (7^{- 1} \cdot 7^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 10.9.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{- 1 + \frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.9.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.9.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.9.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}}}$

Passaggio 10.9.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{- 3 + 5}{3}}}$

Passaggio 10.9.6.2

Somma $- 3$ e $5$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11

$x = \frac{7}{24}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{7}{24}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{7}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7}{24}$ nell'espressione.

$f (\frac{7}{24}) = 6 {(\frac{7}{24})}^{\frac{4}{3}} - 7 {(\frac{7}{24})}^{\frac{1}{3}} + 8$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{24}$ .

$f (\frac{7}{24}) = 6 (\frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}}) - 7 {(\frac{7}{24})}^{\frac{1}{3}} + 8$

Passaggio 12.2.1.2

$6$ e $\frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - 7 {(\frac{7}{24})}^{\frac{1}{3}} + 8$

Passaggio 12.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{24}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - 7 \frac{7^{\frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- 7 \frac{7^{\frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

$- 7$ e $\frac{7^{\frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7 \cdot 7^{\frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.1.4.2

Metti in evidenza il valore negativo.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- (7 \cdot 7^{\frac{1}{3}})}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.1.4.3

Eleva $7$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- (7 \cdot 7^{\frac{1}{3}})}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7^{1 + \frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.1.4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.1.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7^{\frac{3 + 1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.1.4.7

Somma $3$ e $1$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $- \frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{3}{3}}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{3}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $24^{\frac{4}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Moltiplica $\frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{3}{3}}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{1}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.3.2

Moltiplica $24^{\frac{1}{3}}$ per $24^{\frac{3}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{1 + 3}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.3.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 7^{\frac{4}{3}} \cdot 24}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.2.1

Calcola l'esponente.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 7^{\frac{4}{3}} \cdot 24}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.5.2.2

Moltiplica $24$ per $- 1$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 24 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.5.2.3

Sottrai $24 \cdot 7^{\frac{4}{3}}$ da $6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{- 18 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7}{24}) = - \frac{18 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Passaggio 12.2.6

La risposta finale è $- \frac{18 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$ .

$y = - \frac{18 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8}{3 {(0)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{3 \cdot 0^{2}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{8}{3 \cdot 0} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{8}{0} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{8}{0} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{7}{24}) \cup (\frac{7}{24}, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2

La risposta finale è $8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.15$ , dell'intervallo $(0, \frac{7}{24})$ nella derivata prima $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.15$ nell'espressione.

$f' (0.15) = 8 {(0.15)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(0.15)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Eleva $0.15$ alla potenza di $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.15) = 8 \cdot 0.53132928 - \frac{7}{3 {(0.15)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.1.2

Moltiplica $8$ per $0.53132928$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - \frac{7}{3 {(0.15)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.1.3

Eleva $0.15$ alla potenza di $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - \frac{7}{3 \cdot 0.2823108}$

Passaggio 15.3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $0.2823108$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - \frac{7}{0.84693242}$

Passaggio 15.3.2.1.5

Dividi $7$ per $0.84693242$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - 1 \cdot 8.2651222$

Passaggio 15.3.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $8.2651222$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - 8.2651222$

Passaggio 15.3.2.2

Sottrai $8.2651222$ da $4.25063427$ .

$f' (0.15) = - 4.01448792$

Passaggio 15.3.2.3

La risposta finale è $- 4.01448792$ .

$- 4.01448792$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{7}{24}, \infty)$ nella derivata prima $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 8 {(3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.4

Somma $3$ e $2$ .

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2

La risposta finale è $8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 15.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{7}{24}$ , allora $x = \frac{7}{24}$ è un minimo locale.

$x = \frac{7}{24}$ è un minimo locale

Passaggio 16