Calcolo Esempi

$\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ come funzione.

$f (x) = \frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 5 - 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.10.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.12

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.13

Sottrai $9$ da $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.14

$\frac{2}{3}$ e ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.15

$\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $- 9$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.16

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.17

Sposta ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.18

Scomponi $3$ da $- 18$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.19.1

Scomponi $3$ da $3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 ({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{7} (- \frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.21

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ e $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $- \frac{6}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ come ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = 5 - 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 - 9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - 9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.8

${(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{{(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sposta ${(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{6}{7}) \cdot (\frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.9.3

Moltiplica $\frac{6}{7}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (\frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Passaggio 3.10

Moltiplica $\frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}}$ per $\frac{6}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Passaggio 3.11

Moltiplica $7$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{21 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Passaggio 3.12

Scomponi $3$ da $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2)}{21 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Passaggio 3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Scomponi $3$ da $21 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2)}{3 (7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Passaggio 3.13.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Passaggio 3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Passaggio 3.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 9 x))$

Passaggio 3.15

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 9 x))$

Passaggio 3.16

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Passaggio 3.17

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (- 9 \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 3.18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.1

$- 9$ e $\frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 9 \cdot 2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 3.18.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 3.18.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 3.19

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 3.20

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 5 - 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.10.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.12

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.13

Sottrai $9$ da $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.14

$\frac{2}{3}$ e ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.15

$\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $- 9$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.16

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.17

Sposta ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.18

Scomponi $3$ da $- 18$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.19.1

Scomponi $3$ da $3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 ({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{7} (- \frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.2.21

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Passaggio 5.1.3.2

Somma $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 = 0$

Passaggio 6.3

Poiché $6 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{{(5 - 9 x)}^{1}}}$

Passaggio 7.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$7 \sqrt[3]{5 - 9 x} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(7 \sqrt[3]{5 - 9 x})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{5 - 9 x}$ come ${(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$7^{3} {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$343 {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$343 {(5 - 9 x)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.4

Semplifica.

$343 (5 - 9 x) = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$343 \cdot 5 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.6.1

Moltiplica $343$ per $5$ .

$1715 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.6.2

Moltiplica $- 9$ per $343$ .

$1715 - 3087 x = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$1715 - 3087 x = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Sottrai $1715$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3087 x = - 1715$

Passaggio 7.3.3.2

Dividi per $- 3087$ ciascun termine in $- 3087 x = - 1715$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Dividi per $- 3087$ ciascun termine in $- 3087 x = - 1715$ .

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3087$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Passaggio 7.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1715}{- 3087}$

Passaggio 7.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 1715$ e $- 3087$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.3.1.1

Scomponi $- 343$ da $- 1715$ .

$x = \frac{- 343 (5)}{- 3087}$

Passaggio 7.3.3.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.3.1.2.1

Scomponi $- 343$ da $- 3087$ .

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Passaggio 7.3.3.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Passaggio 7.3.3.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{5}{9}$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{5}{9}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5}{9}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{18}{7 {(5 - 9 (\frac{5}{9}))}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$- \frac{18}{7 {(5 + 9 (- 1) \frac{5}{9})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{18}{7 {(5 + 9 \cdot - 1 \frac{5}{9})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{18}{7 {(5 - 1 \cdot 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- \frac{18}{7 {(5 - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- \frac{18}{7 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 10.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 10.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{4}}$

Passaggio 10.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{18}{7 \cdot 0}$

Passaggio 10.2.4.2

Moltiplica $7$ per $0$ .

$- \frac{18}{0}$

Passaggio 10.2.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{18}{0}$

Passaggio 10.2.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{18}{0}$

Passaggio 10.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{5}{9}) \cup (\frac{5}{9}, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{5}{9})$ nella derivata prima $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 \cdot 0)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$f' (0) = - \frac{6}{7 {(5 + 0)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.2.2.1.2

Somma $5$ e $0$ .

$f' (0) = - \frac{6}{7 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.2.2.2

La risposta finale è $- \frac{6}{7 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{5}{9}, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 \cdot 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{7 {(5 - 27)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.1.2

Sottrai $27$ da $5$ .

$f' (3) = - \frac{6}{7 {(- 22)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.2

La risposta finale è $- \frac{6}{7 {(- 22)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(- 22)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{5}{9}$ , allora $x = \frac{5}{9}$ è un minimo locale.

$x = \frac{5}{9}$ è un minimo locale

Passaggio 12