Calcolo Esempi

$\frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{16 x^{2} + 25}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 16 x^{2} + 25$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Somma $32 x$ e $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Passaggio 2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.1

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.2.2

Sottrai $16 x^{2}$ da $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Riscrivi $16 x^{2}$ come ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.3.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4 x$ e $b = 5$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x + 5$ e $g (x) = 4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \frac{d}{d x} (4 x - 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $4 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 \cdot (4 x + 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + 0)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.1

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) \cdot 4) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.12.2

Sposta $4$ alla sinistra di $4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 \cdot (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.14

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.14.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.14.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.14.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.14.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Passaggio 3.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x \cdot 20 + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.5

Sposta $20$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 \cdot x + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1.7.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.8

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.9

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x \cdot - 20 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.10

Sposta $- 20$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 \cdot x + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1.11.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.11.2

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 10) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.12

Espandi $(- 8 x - 10) (4 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x - 5) - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.13

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1.13.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.13.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1.13.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.13.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.13.1.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.13.1.4

Moltiplica $- 5$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.13.1.5

Moltiplica $4$ per $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.13.1.6

Moltiplica $- 10$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x + 50}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.13.2

Sottrai $40 x$ da $40 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 0 + 50}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.13.3

Somma $- 32 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.2

Combina i termini opposti in $16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.2.1

Sottrai $20 x$ da $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} + 0 - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.2.2

Somma $16 x^{2} + 16 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.3

Somma $16 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.4

Sottrai $32 x^{2}$ da $32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5

Somma $0$ e $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.5

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6

Somma $32 x$ e $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.2.1.1

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.2.2

Sottrai $16 x^{2}$ da $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.3.1

Riscrivi $16 x^{2}$ come ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.3.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4 x$ e $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $4 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Imposta $4 x + 5$ uguale a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Risolvi $4 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 5$

Passaggio 6.3.2.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 5$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Passaggio 6.3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Passaggio 6.3.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Passaggio 6.3.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{4}$

Passaggio 6.3.3

Imposta $4 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $4 x - 5$ uguale a $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Risolvi $4 x - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 5$

Passaggio 6.3.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 5$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ vera.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{5}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{50}{{(- \frac{5}{4})}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{{(- 1)}^{3} {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{50}{- {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{- \frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Passaggio 10.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{4^{3}}}$

Passaggio 10.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{64}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$50 (- \frac{64}{125})$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{64}{125}$ nel numeratore.

$50 (\frac{- 64}{125})$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $25$ da $50$ .

$25 (2) \frac{- 64}{125}$

Passaggio 10.3.3

Scomponi $25$ da $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Passaggio 10.3.4

Elimina il fattore comune.

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Passaggio 10.3.5

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{- 64}{5})$

Passaggio 10.4

$2$ e $\frac{- 64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 64}{5}$

Passaggio 10.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Moltiplica $2$ per $- 64$ .

$\frac{- 128}{5}$

Passaggio 10.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{128}{5}$

Passaggio 11

$x = - \frac{5}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{5}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - \frac{5}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{5}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25}{- \frac{5}{4}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25) (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.2.3

Moltiplica $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.2.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.2.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.2.6

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{5}{4}) = (25 + 25) (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Somma $25$ e $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (- \frac{4}{5})$

Passaggio 12.2.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{5}$ nel numeratore.

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (\frac{- 4}{5})$

Passaggio 12.2.3.2.2

Scomponi $5$ da $50$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{- 4}{5})$

Passaggio 12.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{- 4}{5}))$

Passaggio 12.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{5}{4}) = 10 \cdot - 4$

Passaggio 12.2.3.3

Moltiplica $10$ per $- 4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = - 40$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $- 40$ .

$y = - 40$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{50}{{(\frac{5}{4})}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{\frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Passaggio 14.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{4^{3}}}$

Passaggio 14.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{64}}$

Passaggio 14.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$50 (\frac{64}{125})$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$25 (2) \frac{64}{125}$

Passaggio 14.3.2

Scomponi $25$ da $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Passaggio 14.3.3

Elimina il fattore comune.

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Passaggio 14.3.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{64}{5})$

Passaggio 14.4

$2$ e $\frac{64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 64}{5}$

Passaggio 14.5

Moltiplica $2$ per $64$ .

$\frac{128}{5}$

Passaggio 15

$x = \frac{5}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \frac{5}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5}{4}) = \frac{16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25}{\frac{5}{4}}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{5}{4}) = (16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25) (\frac{4}{5})$

Passaggio 16.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Passaggio 16.2.2.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Passaggio 16.2.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Passaggio 16.2.2.4

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Passaggio 16.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5}{4}) = (25 + 25) (\frac{4}{5})$

Passaggio 16.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.3.1

Somma $25$ e $25$ .

$f (\frac{5}{4}) = 50 (\frac{4}{5})$

Passaggio 16.2.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $50$ .

$f (\frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{4}{5})$

Passaggio 16.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{4}{5}))$

Passaggio 16.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot 4$

Passaggio 16.2.3.3

Moltiplica $10$ per $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 40$

Passaggio 16.2.4

La risposta finale è $40$ .

$y = 40$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$ .

$(- \frac{5}{4}, - 40)$ è un massimo locale

$(\frac{5}{4}, 40)$ è un minimo locale

Passaggio 18