Calcolo Esempi

$\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 2.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.5.2.2

$3$ e $\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{3 (x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x^{3} e^{x}) + 3 (- 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.6.2.2

Riordina i fattori in $3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 2.6.3

Riordina i termini.

$\frac{3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.6.4

Scomponi $3 e^{x} x^{2}$ da $3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Scomponi $3 e^{x} x^{2}$ da $3 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.6.4.2

Scomponi $3 e^{x} x^{2}$ da $- 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

Passaggio 2.6.4.3

Scomponi $3 e^{x} x^{2}$ da $3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x - 3)}{x^{6}}$

Passaggio 2.6.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 e^{x} x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Passaggio 2.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 2.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 2.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}})$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 3.5.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) (4 x^{3})}{x^{8}})$

Passaggio 3.7.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}})$

Passaggio 3.7.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x})$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}})$

Passaggio 3.7.2.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}})$

Passaggio 3.7.2.2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}})$

Passaggio 3.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{8}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}})$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}})$

Passaggio 3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 3 (\frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}})$

Passaggio 3.9

$3$ e $\frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{5}}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (x (e^{x} + x e^{x} - 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (x e^{x}) + 3 (x (x e^{x})) + 3 (x (- 3 e^{x})) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 (x \cdot x e^{x}) + 3 (x (- 3 e^{x})) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (x (- 3 e^{x})) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 (- 3 x e^{x}) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5.1.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 (x e^{x}) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5.1.4

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} - 12 (e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} - 12 e^{x} x + 3 (12 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5.1.6

Moltiplica $12$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} - 12 e^{x} x + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5.2

Sottrai $9 x e^{x}$ da $3 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 12 e^{x} x + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5.3

Sottrai $12 e^{x} x$ da $- 6 x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} - 12 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.5.3.2

Sottrai $12 x e^{x}$ da $- 6 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.6

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{- 18 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.1

Scomponi $3 e^{x}$ da $- 18 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 36 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.1.1

Scomponi $3 e^{x}$ da $- 18 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} x^{2} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.7.1.2

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} (x^{2}) + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.7.1.3

Scomponi $3 e^{x}$ da $36 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (12)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.7.1.4

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x + x^{2}) + 3 e^{x} (12)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.7.1.5

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} (- 6 x + x^{2}) + 3 e^{x} (12)$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x + x^{2} + 12)}{x^{5}}$

Passaggio 3.10.7.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (x^{2} - 6 x + 12)}{x^{5}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.2

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.5.2.2

$3$ e $\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{3 (x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x^{3} e^{x}) + 3 (- 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.6.2.2

Riordina i fattori in $3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.6.3

Riordina i termini.

$\frac{3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.6.4

Scomponi $3 e^{x} x^{2}$ da $3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1

Scomponi $3 e^{x} x^{2}$ da $3 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.6.4.2

Scomponi $3 e^{x} x^{2}$ da $- 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.6.4.3

Scomponi $3 e^{x} x^{2}$ da $3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x - 3)}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.6.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 e^{x} x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Passaggio 5.1.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.5.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 5.1.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 5.1.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 e^{x} (x - 3) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 6.3.2.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.3.2.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 6.3.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 e^{x} (x - 3) = 0$ vera.

$x = 3$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{4} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 7.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 3$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{3 e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12)}{{(3)}^{5}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune di $3$ e ${(3)}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scomponi $3$ da $3 e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12)$ .

$\frac{3 (e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12))}{{(3)}^{5}}$

Passaggio 10.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Scomponi $3$ da ${(3)}^{5}$ .

$\frac{3 (e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12))}{3 \cdot 3^{4}}$

Passaggio 10.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12))}{3 \cdot 3^{4}}$

Passaggio 10.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12)}{3^{4}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{e^{3} (9 - 6 \cdot 3 + 12)}{3^{4}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$\frac{e^{3} (9 - 18 + 12)}{3^{4}}$

Passaggio 10.2.3

Sottrai $18$ da $9$ .

$\frac{e^{3} (- 9 + 12)}{3^{4}}$

Passaggio 10.2.4

Somma $- 9$ e $12$ .

$\frac{e^{3} \cdot 3}{3^{4}}$

Passaggio 10.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{e^{3} \cdot 3}{81}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Scomponi $3$ da $e^{3} \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot e^{3}}{81}$

Passaggio 10.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$\frac{3 \cdot e^{3}}{3 \cdot 27}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot e^{3}}{3 \cdot 27}$

Passaggio 10.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{3}}{27}$

Passaggio 11

$x = 3$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{3 e^{3}}{{(3)}^{3}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ e ${(3)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 e^{3}$ .

$f (3) = \frac{3 (e^{3})}{{(3)}^{3}}$

Passaggio 12.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.2.1

Scomponi $3$ da ${(3)}^{3}$ .

$f (3) = \frac{3 (e^{3})}{3 \cdot 3^{2}}$

Passaggio 12.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (3) = \frac{3 e^{3}}{3 \cdot 3^{2}}$

Passaggio 12.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (3) = \frac{e^{3}}{3^{2}}$

Passaggio 12.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = \frac{e^{3}}{9}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $\frac{e^{3}}{9}$ .

$y = \frac{e^{3}}{9}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ .

$(3, \frac{e^{3}}{9})$ è un minimo locale

Passaggio 14