Calcolo Esempi

$(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

Passaggio 1

Scrivi $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$ come funzione.

$f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.10.2

Sottrai $3$ da $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.11

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.12

$\frac{8}{3}$ e ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.14

Moltiplica $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.16

Scomponi $4$ da $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.17

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.17.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.17.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 2.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.12

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ per $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2.3.14

Sposta ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.3.15

$4$ e $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Per scrivere $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ per $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.1.4

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.1.4.4

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.1.4.5

Dividi $6$ per $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.3

Riordina $- {(x - 2)}^{2}$ e $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x - 2$ .

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.5.5

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.4

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.6

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x (x - 4)$ e $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.5.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \cdot 1) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.5.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Moltiplica $x - 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.5.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.10.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11.3

Sposta ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11.4

$\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.14

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.15

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.15.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.15.3

Moltiplica $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)) \cdot 2}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

Passaggio 3.15.4

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

Passaggio 3.15.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.1

Scomponi $2$ da $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.1.2

Scomponi $2$ da $2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.4

Sposta $- 4$ alla sinistra di ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.6

Moltiplica $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.6.1

$x$ e $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.6.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 3.16.2.6.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 3.16.2.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.7

Moltiplica $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.7.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 4 (\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.7.2

$4$ e $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.8

Sottrai $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ da $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.8.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.8.2

Per scrivere $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.8.3

$2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.9

Per scrivere $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.10

$- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.13.1

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.13.1.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.1.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.2

Semplifica $2 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.13.4.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} - 4 x) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.7

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.8

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.10

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.13.10.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.10.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.10.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.10.4

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.10.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.11

Semplifica $- 4 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.12

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 (x - 2) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.13

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x - 12 \cdot - 2 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.13.14

Moltiplica $- 12$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.14

Sottrai $x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 12 x - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.15

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 24 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.2.16

Somma $- 24 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1

$2$ e $\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.3.2

Riscrivi $\frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.16.3.3

Moltiplica $\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 3.16.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.3.5

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.5.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 3.16.3.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16.3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 3.16.3.5.4

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.10.2

Sottrai $3$ da $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.11

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.12

$\frac{8}{3}$ e ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.13

Moltiplica $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.14

Moltiplica $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.15

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.16

Scomponi $4$ da $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.17

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.17.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.17.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.2.17.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 5.1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 5.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 5.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 5.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 5.1.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Passaggio 5.1.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 5.1.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 5.1.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 5.1.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 5.1.3.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 5.1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 5.1.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Passaggio 5.1.3.12

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.1.3.13

Moltiplica $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ per $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.1.3.14

Sposta ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.3.15

$4$ e $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.3.16

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1

Per scrivere $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.1.2

Moltiplica $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ per $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.1.4

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.4.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.1.4.4

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.1.4.5

Dividi $6$ per $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.3

Riordina $- {(x - 2)}^{2}$ e $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x - 2$ .

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.5.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.2.5.5

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.4

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.6

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x (x - 4) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1}}}$

Passaggio 7.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x - 2} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x - 2})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 2}$ come ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(x - 2)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 (x - 2) = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$27 x + 27 \cdot - 2 = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.6

Moltiplica $27$ per $- 2$ .

$27 x - 54 = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x - 54 = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Somma $54$ a entrambi i lati dell'equazione.

$27 x = 54$

Passaggio 7.3.3.2

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 54$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 54$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

Passaggio 7.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{54}{27}$

Passaggio 7.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.3.1

Dividi $54$ per $27$ .

$x = 2$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 4, 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (5 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (5 \cdot 0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$- \frac{2 (0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 20$ per $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.5

Somma $0$ e $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $2$ per $24$ .

$- \frac{48}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.2.3

Scomponi $3$ da $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $3$ da $9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 10.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = (- \frac{1}{4}) {((0) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 12.2.1.2

${(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 12.2.1.3

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 12.2.3

$4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

Passaggio 12.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

Passaggio 12.2.4.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Passaggio 12.2.5

Scomponi $- 1$ da $- {(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Passaggio 12.2.6

Scomponi $- 1$ da $16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Passaggio 12.2.7

Scomponi $- 1$ da $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Passaggio 12.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.8.1

Riscrivi $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ come $- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Passaggio 12.2.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Passaggio 12.2.9

La risposta finale è $- \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (5 {(4)}^{2} - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {((4) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (5 \cdot 16 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $5$ per $16$ .

$- \frac{2 (80 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $- 20$ per $4$ .

$- \frac{2 (80 - 80 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.1.4

Sottrai $80$ da $80$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.1.5

Somma $0$ e $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $2$ da $4$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $2$ per $24$ .

$- \frac{48}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.2.3

Scomponi $3$ da $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Scomponi $3$ da $9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 14.3.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 14.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{16}{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15

$x = 4$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = (- \frac{1}{4}) {((4) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (4) = - \frac{1}{4} \cdot 2^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 16.2.1.2

$2^{\frac{8}{3}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 16.2.1.3

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 16.2.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 + \frac{2}{3}}$

Passaggio 16.2.1.4.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

Passaggio 16.2.1.4.4

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}$

Passaggio 16.2.1.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}$

Passaggio 16.2.1.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.4.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{6 + 2}{3}}$

Passaggio 16.2.1.4.6.2

Somma $6$ e $2$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}}$

Passaggio 16.2.2

Per scrivere $2^{\frac{8}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 16.2.3

$2^{\frac{8}{3}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

Passaggio 16.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

Passaggio 16.2.5

Moltiplica $2^{\frac{8}{3}} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 2^{2}}{4}$

Passaggio 16.2.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2}}{4}$

Passaggio 16.2.5.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{4}$

Passaggio 16.2.5.4

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{4}$

Passaggio 16.2.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 2 \cdot 3}{3}}}{4}$

Passaggio 16.2.5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.5.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 6}{3}}}{4}$

Passaggio 16.2.5.6.2

Somma $8$ e $6$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Passaggio 16.2.6

Scomponi $- 1$ da $- 2^{\frac{8}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Passaggio 16.2.7

Scomponi $- 1$ da $2^{\frac{14}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Passaggio 16.2.8

Scomponi $- 1$ da $- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Passaggio 16.2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.9.1

Riscrivi $- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ come $- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Passaggio 16.2.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Passaggio 16.2.10

La risposta finale è $- \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 18.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 18.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{4}}$

Passaggio 18.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0}$

Passaggio 18.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

Passaggio 18.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

Passaggio 18.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 19

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 19.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{(2 (- 2)) ((- 2) - 4)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.2.2.1.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.2.2.1.3

Sottrai $4$ da $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 \cdot - 6}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.2.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$f' (- 2) = - \frac{24}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.2.2.2

Scomponi $3$ da $24$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.2.2.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.3.1

Scomponi $3$ da $3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 ({(- 4)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 19.2.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.2.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.2.2.4

La risposta finale è $- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata prima $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{(2 (1)) ((1) - 4)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(1 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.3.2.2.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.3.2.2.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 19.3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 19.3.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 (- 1)}$

Passaggio 19.3.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 \cdot - 1}$

Passaggio 19.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.3.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{3 \cdot - 1}$

Passaggio 19.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{- 3}$

Passaggio 19.3.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (1) = - \frac{- 6}{- 3}$

Passaggio 19.3.2.3.4

Dividi $- 6$ per $- 3$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Passaggio 19.3.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (1) = - 2$

Passaggio 19.3.2.4

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 19.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(2, 4)$ nella derivata prima $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - \frac{(2 (3)) ((3) - 4)}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.1

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot (3 ((3) - 4))}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (3) = - \frac{(2) ((3) - 4)}{{((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.4.2.1.3

Sottrai $4$ da $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(3 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.2.1

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.4.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 19.4.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (3) = - \frac{- 2}{1}$

Passaggio 19.4.2.3.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$f' (3) = 2$

Passaggio 19.4.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (3) = 2$

Passaggio 19.4.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 19.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = - \frac{(2 (6)) ((6) - 4)}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.5.2.1

Scomponi $3$ da $(2 (6)) ((6) - 4)$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.5.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 ({((6) - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 19.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (6) = - \frac{2 \cdot ((2) ((6) - 4))}{{((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.5.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{{(6 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.5.2.4

Sottrai $2$ da $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{4^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.5.2.5

Sottrai $4$ da $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 \cdot 2}{4^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.5.2.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f' (6) = - \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.5.2.7

La risposta finale è $- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 19.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 19.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 2$ , allora $x = 2$ è un minimo locale.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 19.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 4$ , allora $x = 4$ è un massimo locale.

$x = 4$ è un massimo locale

Passaggio 19.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

$x = 4$ è un massimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

$x = 4$ è un massimo locale

Passaggio 20