Calcolo Esempi

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ come funzione.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Espandi $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.3.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.4

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.5

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.6.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.6.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.6.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.6.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.8.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.8.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.10.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.10.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.10.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.10.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.10.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.10.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.10.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Somma $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.4

Somma $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.7.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.7.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.7.5.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.5.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.7.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.7.5.3

$2$ e $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.1

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.2

Espandi $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.3.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.7.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.7.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.7.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.7.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.7.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.9.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.9.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.9.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.10

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.11

Espandi $(- 4 x - 4) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.12.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.12.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.12.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.12.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.12.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.12.2

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.12.3

Somma $- 4 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.13.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.13.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.13.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.13.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.13.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.13.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.14

Espandi $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.14.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.15

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.15.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.15.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.15.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.15.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.15.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.15.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.15.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1.15.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.15.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.15.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.15.2

Somma $- 4 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.15.3

Somma $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.16

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.17

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.1.18

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.2

Sottrai $8 x^{5}$ da $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.4.3

Somma $4 x$ e $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.1

Scomponi $4 x$ da $- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.1.1

Scomponi $4 x$ da $- 4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.1.2

Scomponi $4 x$ da $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.1.3

Scomponi $4 x$ da $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.1.4

Scomponi $4 x$ da $4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.1.5

Scomponi $4 x$ da $4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.4.1.2

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f'' (x) = \frac{4 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.6

Elimina il fattore comune di $- x^{2} - 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.6.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.6.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.6.4

Riscrivi $- (x^{2} + 1)$ come $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.6.5

Scomponi $x^{2} + 1$ da $4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.8.6.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.6.6.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8.6.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8.6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.9.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.2

Espandi $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.3.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.4

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.5

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.6.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.6.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.6.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.6.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.8.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.8.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.10.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.10.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.10.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.10.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.10.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.10.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.10.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.2.2

Somma $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.2.3

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.2.4

Somma $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6.3.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - 1, 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{- 4 (1 - 3)}{8}$

Passaggio 10.3.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- \frac{- 4 \cdot - 2}{8}$

Passaggio 10.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$- \frac{8}{8}$

Passaggio 10.4.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{8}{8}$

Passaggio 10.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 10.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 11

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elimina il fattore comune di ${((- 1) - 1)}^{2}$ e ${(- 1)}^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Scomponi $- 1$ da ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 + 1}$

Passaggio 12.2.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 12.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- - 1 - 1 (- 1)$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- (- 1 - 1)}$

Passaggio 12.2.1.4

Riscrivi $- (- 1 - 1)$ come $- 1 (- 1 - 1)$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- 1 (- 1 - 1)}$

Passaggio 12.2.1.5

Scomponi $- 1 - 1$ da ${(- 1 - 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1 - 1) (- 1 - 1)}{- 1 (- 1 - 1)}$

Passaggio 12.2.1.6

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 1 - 1}{- 1}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot (- 1 - 1)$

Passaggio 12.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Riscrivi $- 1 \cdot (- 1 - 1)$ come $- (- 1 - 1)$ .

$f (- 1) = - (- 1 - 1)$

Passaggio 12.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (- 1) = 2$

Passaggio 12.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 1) = 2$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{4 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Passaggio 14.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{8}$

Passaggio 14.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{4 (1 - 3)}{8}$

Passaggio 14.3.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- \frac{4 \cdot - 2}{8}$

Passaggio 14.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- \frac{- 8}{8}$

Passaggio 14.4.2

Dividi $- 8$ per $8$ .

$- - 1$

Passaggio 14.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$

Passaggio 15

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{{((1) - 1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 1}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = \frac{0^{2}}{1^{2} + 1}$

Passaggio 16.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{2} + 1}$

Passaggio 16.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{0}{1 + 1}$

Passaggio 16.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \frac{0}{2}$

Passaggio 16.2.3

Dividi $0$ per $2$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 16.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ .

$(- 1, 2)$ è un massimo locale

$(1, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 18