Calcolo Esempi

$\frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 6}$ come ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{1}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.11.3

Sposta ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.11.4

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6]}{x - 6}$

Passaggio 2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Passaggio 2.14

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 6}$

Passaggio 2.15

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 6}$

Passaggio 2.15.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.16

Per scrivere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.17

${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.19

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.19.1

Sposta ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.19.4

Somma $1$ e $1$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.19.5

Dividi $2$ per $2$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.20

Semplifica ${(x - 6)}^{1} \cdot 2$ .

$3 \frac{\frac{(x - 6) \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.21

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 6$ .

$3 \frac{\frac{2 \cdot (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 2.22

Riscrivi $\frac{\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$ come un prodotto.

$3 (\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 6})$

Passaggio 2.23

Moltiplica $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x - 6}$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)}$

Passaggio 2.24

Eleva $x - 6$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.25

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.26

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.26.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 2.26.3

Somma $2$ e $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.27

$3$ e $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (2 (x - 6) - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.28.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x + 2 \cdot - 6 - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.28.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.28.3.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28.3.1.2

Moltiplica $3 (2 \cdot - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.28.3.1.2.1

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 12 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28.3.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$\frac{6 x - 36 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{6 x - 36 - 3 x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28.3.2

Sottrai $3 x$ da $6 x$ .

$\frac{3 x - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28.4

Scomponi $3$ da $3 x - 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.28.4.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28.4.2

Scomponi $3$ da $- 36$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot - 12}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.28.4.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot - 12$ .

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 12}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 12}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.9

$\frac{3}{2}$ e ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.12

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 + 0))}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.13.2

Moltiplica $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + 3 ((- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.1

Scomponi $3$ da $3 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + 3 (- x - - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.1.1

Scomponi $3$ da $3 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}}) + 3 (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.1.2

Scomponi $3$ da $3 (- x - - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.1.3

Scomponi $3$ da $3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x - - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 12 (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.4

$\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 12 (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.5.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 (6) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 \cdot (6 (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 6 (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.6

Moltiplica $3$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.7

Per scrivere $18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.8

$18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.10.1

Scomponi $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ da $- 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.10.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.10.1.1.1

Sposta ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.10.1.1.2

Sposta ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} + 18 \cdot (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.10.1.2

Scomponi $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ da $- 3 x {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 18 \cdot (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.10.1.3

Scomponi $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ da $18 \cdot 2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 2)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.10.1.4

Scomponi $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ da $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 2)$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 6 \cdot 2)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.10.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.11

Per scrivere ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.12

${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14

Riscrivi $\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.14.1

Scomponi ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.14.1.1

Riordina ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.1.2

Scomponi ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.1.3

Scomponi ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ da $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}}) + {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.1.4

Scomponi ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}}) + {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x + 12))$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}} + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.2

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x - 6) + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.3

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x - 6) + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot - 6 + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.5

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 + 3 (- x) + 3 \cdot 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.7

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 - 3 x + 3 \cdot 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.8

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 - 3 x + 36)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.9

Sottrai $3 x$ da $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12 + 36)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.3.14.10

Somma $- 12$ e $36$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.4.1

$3$ e $\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24))}{2}}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.4.2

Riscrivi $\frac{\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2}}{2 {(x - 6)}^{3}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.4.3

Moltiplica $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2}$ per $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2 (2 {(x - 6)}^{3})}$

Passaggio 3.14.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 3.14.4.5

Sposta ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.14.4.6

Moltiplica ${(x - 6)}^{3}$ per ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.4.6.1

Sposta ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 ({(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} {(x - 6)}^{3})}$

Passaggio 3.14.4.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Passaggio 3.14.4.6.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.14.4.6.4

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 3.14.4.6.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 3.14.4.6.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.4.6.6.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Passaggio 3.14.4.6.6.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.14.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x) + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.14.6

Riscrivi $24$ come $- 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.14.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x - 24))}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.14.8

Riscrivi $- (x - 24)$ come $- 1 (x - 24)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- 1 (x - 24))}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.14.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (x - 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 6}$ come ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 5.1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 5.1.2

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{1}}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Passaggio 5.1.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Passaggio 5.1.5.2

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Passaggio 5.1.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.11.3

Sposta ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.11.4

$\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6]}{x - 6}$

Passaggio 5.1.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Passaggio 5.1.14

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 6}$

Passaggio 5.1.15

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.15.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 6}$

Passaggio 5.1.15.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.16

Per scrivere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.17

${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.19

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.19.1

Sposta ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.19.4

Somma $1$ e $1$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.19.5

Dividi $2$ per $2$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.20

Semplifica ${(x - 6)}^{1} \cdot 2$ .

$3 \frac{\frac{(x - 6) \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.21

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 6$ .

$3 \frac{\frac{2 \cdot (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Passaggio 5.1.22

Riscrivi $\frac{\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$ come un prodotto.

$3 (\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 6})$

Passaggio 5.1.23

Moltiplica $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x - 6}$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)}$

Passaggio 5.1.24

Eleva $x - 6$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 5.1.25

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.26

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.26.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 5.1.26.3

Somma $2$ e $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.27

$3$ e $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (2 (x - 6) - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.28.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x + 2 \cdot - 6 - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.28.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.28.3.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28.3.1.2

Moltiplica $3 (2 \cdot - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.28.3.1.2.1

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 12 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28.3.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$\frac{6 x - 36 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{6 x - 36 - 3 x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28.3.2

Sottrai $3 x$ da $6 x$ .

$\frac{3 x - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28.4

Scomponi $3$ da $3 x - 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.28.4.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28.4.2

Scomponi $3$ da $- 36$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot - 12}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.1.28.4.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 (x - 12) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x - 12) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x - 12) = 0$ .

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.3.1.2.1.2

Dividi $x - 12$ per $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x - 12 = 0$

Passaggio 6.3.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 12$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{3 (x - 12)}{2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{3 (x - 12)}{2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{{(x - 6)}^{3}}$ come ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x - 6)}^{3} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 {(x - 6)}^{3} = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 {(x - 6)}^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 {(x - 6)}^{3} = 0$ .

$\frac{4 {(x - 6)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 7.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 {(x - 6)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 7.3.3.1.2.1.2

Dividi ${(x - 6)}^{3}$ per $1$ .

${(x - 6)}^{3} = \frac{0}{4}$

Passaggio 7.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

${(x - 6)}^{3} = 0$

Passaggio 7.3.3.2

Poni $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 7.3.3.3

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 7.4

Imposta il radicando in $\sqrt{{(x - 6)}^{3}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 6)}^{3} < 0$

Passaggio 7.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{{(x - 6)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 7.5.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x - 6 < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 7.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x - 6 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 7.5.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x - 6 < 0$

Passaggio 7.5.3

Aggiungi $6$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < 6$

Passaggio 7.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 6$

$(- \infty, 6]$

$x \leq 6$

$(- \infty, 6]$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 12$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 12$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 ((12) - 24)}{4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi $4$ da $3 ((12) - 24)$ .

$- \frac{4 (3 (3 - 6))}{4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $4$ da $4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{4 (3 (3 - 6))}{4 ({((12) - 6)}^{\frac{5}{2}})}$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 (3 (3 - 6))}{4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 (3 - 6)}{{((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 10.3

Sottrai $6$ da $3$ .

$- \frac{3 \cdot - 3}{{(12 - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 10.4

Sottrai $6$ da $12$ .

$- \frac{3 \cdot - 3}{6^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 10.5

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$- \frac{- 9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 10.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 10.7

Moltiplica $- - \frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 10.7.2

Moltiplica $\frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 11

$x = 12$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 12$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $12$ nell'espressione.

$f (12) = \frac{3 (12)}{\sqrt{(12) - 6}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f (12) = \frac{36}{\sqrt{12 - 6}}$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $6$ da $12$ .

$f (12) = \frac{36}{\sqrt{6}}$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $\frac{36}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$f (12) = \frac{36}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 12.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Moltiplica $\frac{36}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 12.2.4.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 12.2.4.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 12.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Passaggio 12.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 12.2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.2.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 12.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 12.2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 12.2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 12.2.4.6.5

Calcola l'esponente.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 12.2.5

Elimina il fattore comune di $36$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Scomponi $6$ da $36 \sqrt{6}$ .

$f (12) = \frac{6 (6 \sqrt{6})}{6}$

Passaggio 12.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$f (12) = \frac{6 (6 \sqrt{6})}{6 (1)}$

Passaggio 12.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (12) = \frac{6 (6 \sqrt{6})}{6 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (12) = \frac{6 \sqrt{6}}{1}$

Passaggio 12.2.5.2.4

Dividi $6 \sqrt{6}$ per $1$ .

$f (12) = 6 \sqrt{6}$

Passaggio 12.2.6

La risposta finale è $6 \sqrt{6}$ .

$y = 6 \sqrt{6}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$ .

$(12, 6 \sqrt{6})$ è un minimo locale

Passaggio 14