Calcolo Esempi

$y = 1 + e^{x}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 1 + e^{y}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $1 + e^{y} = x$ .

$1 + e^{y} = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y} = x - 1$

Passaggio 2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (x - 1)$

Passaggio 2.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (x - 1)$

Passaggio 2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (x - 1)$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$ è l'inverso di $f (x) = 1 + e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (1 + e^{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln ((1 + e^{x}) - 1)$

Passaggio 4.2.3

Combina i termini opposti in $(1 + e^{x}) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln (0 + e^{x})$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 4.2.4

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x \ln (e)$

Passaggio 4.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x \cdot 1$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\ln (x - 1))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x - 1)) = 1 + e^{\ln (x - 1)}$

Passaggio 4.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (x - 1)) = 1 + x - 1$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $1 + x - 1$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\ln (x - 1)) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\ln (x - 1)) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$ è l'inverso di $f (x) = 1 + e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$