Calcolo Esempi

$\sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin (x) - \cos (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 5

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Frazioni separate.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 9

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 10

Dividi $0$ per $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 11

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Passaggio 12

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 13

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 14

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 15

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 16

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 16.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 16.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 17

La soluzione dell'equazione $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 19

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 19.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 19.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 19.1.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 19.1.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 19.1.5

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 19.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 19.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 19.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 19.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 19.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 19.2.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 20

$x = - \frac{π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 21

Trova il valore di y quando $x = - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 21.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 21.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 21.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 21.2.1.4

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 21.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 21.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 21.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 21.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 21.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 21.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 21.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 21.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 21.2.2.3.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Passaggio 21.2.3

La risposta finale è $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Passaggio 22

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 23

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 23.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 23.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 23.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 23.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 23.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 23.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 23.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 23.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 23.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 23.2.3.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$- \sqrt{2}$

Passaggio 24

$x = \frac{3 π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 25

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 25.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 25.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 25.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 25.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 25.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.2.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.2.2.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Passaggio 25.2.3

La risposta finale è $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Passaggio 26

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ è un massimo locale

Passaggio 27