Calcolo Esempi

${(t^{2} - 4)}^{3}$

Passaggio 1

Scrivi ${(t^{2} - 4)}^{3}$ come funzione.

$f (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2} - 4$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$

Passaggio 2.2.4.3

Riordina i fattori di $6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$ .

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t {(t^{2} - 4)}^{2}]$ .

$f'' (t) = 6 \frac{d}{d t} (t {(t^{2} - 4)}^{2})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (t) = 6 (t \frac{d}{d t} ({(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{2} - 4$ .

$f'' (t) = 6 (t (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 u \frac{d}{d t} (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2} - 4$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) \frac{d}{d t} (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (\frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 4))) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (2 t + \frac{d}{d t} (- 4))) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.4.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (t) = 6 (t (4 (t^{2} - 4) t) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 6 (t \cdot t (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.6

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 6 (t \cdot t (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 6 (t^{1 + 1} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.10

Moltiplica ${(t^{2} - 4)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2})$

Passaggio 3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 t^{2} + 4 \cdot - 4) + {(t^{2} - 4)}^{2})$

Passaggio 3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 t^{2}) + t^{2} (4 \cdot - 4) + {(t^{2} - 4)}^{2})$

Passaggio 3.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 t^{2})) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3.11.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} t^{2} \cdot 4) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3.11.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 6 (t^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3.11.4.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (t) = 6 (t^{4} \cdot 4) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3.11.4.2

Sposta $4$ alla sinistra di $t^{4}$ .

$f'' (t) = 6 (4 \cdot t^{4}) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3.11.4.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3.11.4.4

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} + 6 (t^{2} \cdot - 16) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3.11.4.5

Sposta $- 16$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} + 6 (- 16 \cdot t^{2}) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3.11.4.6

Moltiplica $- 16$ per $6$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 3.11.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.1

Riscrivi ${(t^{2} - 4)}^{2}$ come $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4))$

Passaggio 3.11.5.2

Espandi $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4))$

Passaggio 3.11.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4))$

Passaggio 3.11.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Passaggio 3.11.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.3.1.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Passaggio 3.11.5.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Passaggio 3.11.5.3.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Passaggio 3.11.5.3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16)$

Passaggio 3.11.5.3.2

Sottrai $4 t^{2}$ da $- 4 t^{2}$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} - 8 t^{2} + 16)$

Passaggio 3.11.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 t^{4} + 6 (- 8 t^{2}) + 6 \cdot 16$

Passaggio 3.11.5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.5.1

Moltiplica $- 8$ per $6$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 t^{4} - 48 t^{2} + 6 \cdot 16$

Passaggio 3.11.5.5.2

Moltiplica $6$ per $16$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 t^{4} - 48 t^{2} + 96$

Passaggio 3.11.6

Somma $24 t^{4}$ e $6 t^{4}$ .

$f'' (t) = 30 t^{4} - 96 t^{2} - 48 t^{2} + 96$

Passaggio 3.11.7

Sottrai $48 t^{2}$ da $- 96 t^{2}$ .

$f'' (t) = 30 t^{4} - 144 t^{2} + 96$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Passaggio 5.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2} - 4$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])$

Passaggio 5.1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)$

Passaggio 5.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.4.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)$

Passaggio 5.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$

Passaggio 5.1.2.4.3

Riordina i fattori di $6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$ .

$f' (t) = 6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ .

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$t = 0$

${(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3

Imposta $t$ uguale a $0$ .

$t = 0$

Passaggio 6.4

Imposta ${(t^{2} - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta ${(t^{2} - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi ${(t^{2} - 4)}^{2} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${(t^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = t$ e $b = 2$ .

${((t + 2) (t - 2))}^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(t + 2) (t - 2)$ .

${(t + 2)}^{2} {(t - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

${(t - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2.3

Imposta ${(t + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Imposta ${(t + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2.3.2

Risolvi ${(t + 2)}^{2} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.1

Poni $t + 2$ uguale a $0$ .

$t + 2 = 0$

Passaggio 6.4.2.3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 2$

Passaggio 6.4.2.4

Imposta ${(t - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Imposta ${(t - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(t - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2.4.2

Risolvi ${(t - 2)}^{2} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.2.1

Poni $t - 2$ uguale a $0$ .

$t - 2 = 0$

Passaggio 6.4.2.4.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 2$

Passaggio 6.4.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(t + 2)}^{2} {(t - 2)}^{2} = 0$ vera.

$t = - 2, 2$

Passaggio 6.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$ vera.

$t = 0, - 2, 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$t = 0, - 2, 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$30 {(0)}^{4} - 144 {(0)}^{2} + 96$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$30 \cdot 0 - 144 {(0)}^{2} + 96$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $30$ per $0$ .

$0 - 144 {(0)}^{2} + 96$

Passaggio 10.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 144 \cdot 0 + 96$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $- 144$ per $0$ .

$0 + 0 + 96$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 96$

Passaggio 10.2.2

Somma $0$ e $96$ .

$96$

Passaggio 11

$t = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 0$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = {(0 - 4)}^{3}$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (0) = {(- 4)}^{3}$

Passaggio 12.2.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f (0) = - 64$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $- 64$ .

$y = - 64$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $t = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$30 {(- 2)}^{4} - 144 {(- 2)}^{2} + 96$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$30 \cdot 16 - 144 {(- 2)}^{2} + 96$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $30$ per $16$ .

$480 - 144 {(- 2)}^{2} + 96$

Passaggio 14.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$480 - 144 \cdot 4 + 96$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $- 144$ per $4$ .

$480 - 576 + 96$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $576$ da $480$ .

$- 96 + 96$

Passaggio 14.2.2

Somma $- 96$ e $96$ .

$0$

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $t$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 6 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = - 24 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 15.2.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = - 24 {(16 - 4)}^{2}$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$f' (- 4) = - 24 \cdot 12^{2}$

Passaggio 15.2.2.4

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = - 24 \cdot 144$

Passaggio 15.2.2.5

Moltiplica $- 24$ per $144$ .

$f' (- 4) = - 3456$

Passaggio 15.2.2.6

La risposta finale è $- 3456$ .

$- 3456$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 1$ , dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata prima $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 6 (- 1) {({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 15.3.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 6 {(1 - 4)}^{2}$

Passaggio 15.3.2.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (- 1) = - 6 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 15.3.2.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 6 \cdot 9$

Passaggio 15.3.2.5

Moltiplica $- 6$ per $9$ .

$f' (- 1) = - 54$

Passaggio 15.3.2.6

La risposta finale è $- 54$ .

$- 54$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata prima $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $t$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 6 (1) {({(1)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f' (1) = 6 {({(1)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 15.4.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 6 {(1 - 4)}^{2}$

Passaggio 15.4.2.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (1) = 6 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 15.4.2.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = 6 \cdot 9$

Passaggio 15.4.2.5

Moltiplica $6$ per $9$ .

$f' (1) = 54$

Passaggio 15.4.2.6

La risposta finale è $54$ .

$54$

Passaggio 15.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Sostituisci la variabile $t$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 6 (4) {({(4)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 15.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f' (4) = 24 {({(4)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 15.5.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 24 {(16 - 4)}^{2}$

Passaggio 15.5.2.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$f' (4) = 24 \cdot 12^{2}$

Passaggio 15.5.2.4

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 24 \cdot 144$

Passaggio 15.5.2.5

Moltiplica $24$ per $144$ .

$f' (4) = 3456$

Passaggio 15.5.2.6

La risposta finale è $3456$ .

$3456$

Passaggio 15.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $t = - 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $t = 0$ , allora $t = 0$ è un minimo locale.

$t = 0$ è un minimo locale

Passaggio 15.8

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $t = 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.9

Questi sono gli estremi locali per $f (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t = 0$ è un minimo locale

Passaggio 16