Calcolo Esempi

$2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ come funzione.

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \cos (2 x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x) = 0$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \cos (x) - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 6

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $2 \cos (x)$ da $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 8

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 8.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 8.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.2.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9

Imposta $1 - 2 \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $1 - 2 \sin (x)$ uguale a $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $1 - 2 \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Passaggio 9.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 9.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 9.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 9.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 9.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 9.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 9.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.6.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 9.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 9.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.6.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 9.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 9.2.7

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 12.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 - 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 12.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 - 4 \cos (π)$

Passaggio 12.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 - 4 (- \cos (0))$

Passaggio 12.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 12.1.6

Moltiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 12.1.6.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- 2 + 4$

Passaggio 12.2

Somma $- 2$ e $4$ .

$2$

Passaggio 13

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 14.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 14.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 14.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (π)$

Passaggio 14.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (0)$

Passaggio 14.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1 \cdot 1$

Passaggio 14.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Passaggio 14.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 16.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 16.1.3

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 16.1.3.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 16.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 - 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 - 4 \cos (3 π)$

Passaggio 16.1.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 - 4 \cos (π)$

Passaggio 16.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 - 4 (- \cos (0))$

Passaggio 16.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.1.8

Moltiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 16.1.8.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$2 + 4$

Passaggio 16.2

Somma $2$ e $4$ .

$6$

Passaggio 17

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 18.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 18.2.1.3

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 18.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 18.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 18.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (3 π)$

Passaggio 18.2.1.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (π)$

Passaggio 18.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (0)$

Passaggio 18.2.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1 \cdot 1$

Passaggio 18.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1$

Passaggio 18.2.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3$

Passaggio 18.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 19

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 20

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 20.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 20.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 20.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 20.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Passaggio 20.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 20.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 20.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 20.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Passaggio 20.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Passaggio 20.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - 2$

Passaggio 20.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$- 3$

Passaggio 21

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 22

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 22.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 22.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 22.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 22.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Passaggio 22.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 22.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 22.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 22.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 22.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Passaggio 22.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

Passaggio 22.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 23

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (\frac{5 π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 24

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 24.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 24.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 24.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 24.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 24.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Passaggio 24.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 24.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 24.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 24.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 24.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.7.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Passaggio 24.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Passaggio 24.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - 2$

Passaggio 24.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$- 3$

Passaggio 25

$x = \frac{5 π}{6}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 26

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{5 π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 26.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 26.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 26.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 26.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 26.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Passaggio 26.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 26.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 26.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 26.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 26.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 26.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Passaggio 26.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{3}{2}$

Passaggio 26.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 27

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{2}, - 3)$ è un minimo locale

$(\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ è un massimo locale

$(\frac{5 π}{6}, \frac{3}{2})$ è un massimo locale

Passaggio 28