Calcolo Esempi

$- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questa derivata usando la regola del quoziente. Mathway userà un altro metodo.

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 12 y^{\frac{3}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ come ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Passaggio 4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Passaggio 4.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.5

Poiché $12 y^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Sposta $12$ alla sinistra di ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} (12 \cdot {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $12$ per $12$ .

$144 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$144 y^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$144 y^{\frac{1 + 3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.2

Somma $1$ e $3$ .

$144 y^{\frac{4}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$144 y^{\frac{2}{1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \cdot 1)$

Passaggio 8

Moltiplica ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ per $1$ .

$144 y^{2} {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$144 y^{2} \frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.2.1

$144$ e $\frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$y^{2} \frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

$y^{2}$ e $\frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Sposta $144$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{144 y^{2}}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3

Riordina i termini.

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.4

Riordina i fattori in $\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{144 y^{2}}{{(12 x y^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$