Calcolo Esempi

$- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questa derivata usando la regola del quoziente. Mathway userà un altro metodo.

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 5 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$ rispetto a $x$ è $- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$ .

$- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{5 x + 2 y}$ come ${(5 x + 2 y)}^{- 1}$ .

$- 5 y \frac{d}{d x} [{(5 x + 2 y)}^{- 1}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 5 x + 2 y$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (- {(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 2 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Passaggio 4.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Passaggio 4.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Passaggio 4.6

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + 0))$

Passaggio 4.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.7.1

Somma $5$ e $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \cdot 5)$

Passaggio 4.7.2

Sposta $5$ alla sinistra di ${(5 x + 2 y)}^{- 2}$ .

$5 y (5 \cdot {(5 x + 2 y)}^{- 2})$

Passaggio 4.7.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$25 y {(5 x + 2 y)}^{- 2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 y \frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$25$ e $\frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$y \frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

$y$ e $\frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Sposta $25$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{25 y}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$