Calcolo Esempi

$\frac{3 x e^{x^{2}} + 8}{y}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x e^{x^{2}} + 8$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}} + 8] - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x e^{x^{2}} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$\frac{y (3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{y (3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{y (3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y (3 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.11

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 4

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{y (6 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Somma $6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$\frac{y (6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 6

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) + (- (3 x e^{x^{2}}) - 1 \cdot 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - 3 (x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4

Moltiplica $- 3 x e^{x^{2}} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 3$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 x e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.3

Moltiplica $0$ per $e^{x^{2}}$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5

Moltiplica $- 1 \cdot 8 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5.2

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Combina i termini opposti in $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Somma $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0}{y^{2}}$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}}{y^{2}}$

Passaggio 7.5

Riordina i termini.

$\frac{6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

Passaggio 7.6

Scomponi $3 e^{x^{2}} y$ da $6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Scomponi $3 e^{x^{2}} y$ da $6 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

Passaggio 7.6.2

Scomponi $3 e^{x^{2}} y$ da $3 e^{x^{2}} y$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)}{y^{2}}$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $3 e^{x^{2}} y$ da $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)}{y^{2}}$

Passaggio 7.7

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Scomponi $y$ da $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y^{2}}$

Passaggio 7.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

Passaggio 7.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

Passaggio 7.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1)}{y}$