Calcolo Esempi

$\frac{a x + b}{a^{2} x^{2} + b^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d b} [\frac{f (b)}{g (b)}]$ è $\frac{g (b) \frac{d}{d b} [f (b)] - f (b) \frac{d}{d b} [g (b)]}{{g (b)}^{2}}$ dove $f (b) = a x + b$ e $g (b) = a^{2} x^{2} + b^{2}$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d b} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x + b$ rispetto a $b$ è $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $a x$ è costante rispetto a $b$ , la derivata di $a x$ rispetto a $b$ è $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ è $n b^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + 1) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{2} x^{2} + b^{2}$ rispetto a $b$ è $\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $a^{2} x^{2}$ è costante rispetto a $b$ , la derivata di $a^{2} x^{2}$ rispetto a $b$ è $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ è $n b^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + 2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $0$ e $2 b$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 + (- (a x) - b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $a^{2}$ per $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $b^{2}$ per $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b \cdot b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.5.1

Sposta $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 (b \cdot b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $2 b^{2}$ da $b^{2}$ .

$\frac{a^{2} x^{2} - b^{2} - 2 a x b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$\frac{- b^{2} + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- b^{2}$ .

$\frac{- (b^{2}) + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $a^{2} x^{2}$ .

$\frac{- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2})$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $- 2 a b x$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.11

Riscrivi $- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ come $- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ .

$\frac{- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$