Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{4}}{4 x^{2} + 4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $8 x$ e $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} (4 x^{3}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3 + 2} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{4 \cdot 4 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{4} x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

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Passaggio 5.2.1.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{1 + 4}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.6.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $8 x^{5}$ da $16 x^{5}$ .

$\frac{8 x^{5} + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Scomponi $8 x^{3}$ da $8 x^{5} + 16 x^{3}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $8 x^{3}$ da $8 x^{5}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $8 x^{3}$ da $16 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $8 x^{3}$ da $8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4$ .

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Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $4$ da $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $4 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $8$ e $16$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $8$ da $8 x^{3} (x^{2} + 2)$ .

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.5.2.1

Scomponi $8$ da $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Passaggio 5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 2)}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$