Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{{(3 + x)}^{7}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(3 + x)}^{7}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{7}]}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{7}]}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = 3 + x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 + x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 + x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \frac{d}{d x} [x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \cdot 1)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi ${(3 + x)}^{6} x$ da ${(3 + x)}^{7} \cdot 2 x - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi ${(3 + x)}^{6} x$ da ${(3 + x)}^{7} \cdot 2 x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi ${(3 + x)}^{6} x$ da $- x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) + {(3 + x)}^{6} x (- x \cdot 7)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi ${(3 + x)}^{6} x$ da ${(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) + {(3 + x)}^{6} x (- x \cdot 7)$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2 - x \cdot 7)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (3 \cdot 2 + x \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 + x \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 + 2 x - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $7 x$ da $2 x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 + x)}^{7})}^{2}$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{7 \cdot 2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{14}}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di ${(3 + x)}^{6}$ e ${(3 + x)}^{14}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi ${(3 + x)}^{6}$ da ${(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{14}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi ${(3 + x)}^{6}$ da ${(3 + x)}^{14}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{6} {(3 + x)}^{8}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{6} {(3 + x)}^{8}}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{8}}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$\frac{x (6 - 5 x)}{{(x + 3)}^{8}}$