Calcolo Esempi

$p = \frac{600 x}{100 + x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 600 x$ e $g (x) = 100 + x^{2}$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \frac{d}{d x} [600 x] - 1 \cdot 600 x \frac{d}{d x} [100 + x^{2}]}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $600$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $600 x$ rispetto a $x$ è $600 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(100 + x^{2}) (600 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 600 x \frac{d}{d x} [100 + x^{2}]}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(100 + x^{2}) (600 \cdot 1) - 1 \cdot 600 x \frac{d}{d x} [100 + x^{2}]}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $600$ per $1$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x \frac{d}{d x} [100 + x^{2}]}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $100 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (0 + 2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $0$ e $2 x$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{100 \cdot 600 + x^{2} \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $100$ per $600$ .

$\frac{60000 + x^{2} \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Sposta $600$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{60000 + 600 \cdot x^{2} - 1 \cdot 600 x (2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 1 \cdot 600 \cdot 2 x \cdot x}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 1 \cdot 600 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 1 \cdot 600 \cdot 2 x^{2}}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $- 1 \cdot 600 \cdot 2$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $600$ .

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 600 \cdot 2 x^{2}}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.5.2

Moltiplica $- 600$ per $2$ .

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 1200 x^{2}}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1200 x^{2}$ da $600 x^{2}$ .

$\frac{60000 - 600 x^{2}}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$\frac{- 600 x^{2} + 60000}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $600$ da $- 600 x^{2} + 60000$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $600$ da $- 600 x^{2}$ .

$\frac{600 (- x^{2}) + 60000}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $600$ da $60000$ .

$\frac{600 (- x^{2}) + 600 (100)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $600$ da $600 (- x^{2}) + 600 (100)$ .

$\frac{600 (- x^{2} + 100)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$\frac{600 (- x^{2} + 10^{2})}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Riordina $- x^{2}$ e $10^{2}$ .

$\frac{600 (10^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 10$ e $b = x$ .

$\frac{600 (10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$