Calcolo Esempi

$\frac{x + 8}{5 x^{2} e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 8$ e $g (x) = 5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2} e^{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4

Riordina i fattori in $5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola del prodotto a $5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la regola del prodotto a $5 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3

Espandi $(- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.4.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x^{1}) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{2 + 1} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{3} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 1 \cdot 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.4.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - (x \cdot x) (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x^{2} (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 1 \cdot 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.7

Moltiplica $5$ per $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 (x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.1.8

Moltiplica $10$ per $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.2

Sottrai $40 x^{2} e^{x}$ da $- 10 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 50 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Sottrai $50 x^{2} e^{x}$ da $5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{2 \cdot 2} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} {(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 7.5.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{2 x}}$

Passaggio 7.6

Riordina i termini.

$\frac{- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Scomponi $5 e^{x} x$ da $- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1.1

Scomponi $5 e^{x} x$ da $- 45 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.7.1.2

Scomponi $5 e^{x} x$ da $- 5 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.7.1.3

Scomponi $5 e^{x} x$ da $- 80 e^{x} x$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.7.1.4

Scomponi $5 e^{x} x$ da $5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2})$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.7.1.5

Scomponi $5 e^{x} x$ da $5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2} - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.7.2

Riordina i termini.

$\frac{5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.8

Elimina il fattore comune di $5$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Scomponi $5$ da $5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1

Scomponi $5$ da $25 e^{2 x} x^{4}$ .

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Passaggio 7.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Passaggio 7.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.9

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Passaggio 7.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.2.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $5 e^{2 x} x^{4}$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Passaggio 7.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Passaggio 7.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{4}}$

Passaggio 7.10

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.1

Scomponi $x$ da $e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 x^{4}}$

Passaggio 7.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.2.1

Scomponi $x$ da $5 x^{4}$ .

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Passaggio 7.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Passaggio 7.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Passaggio 7.11

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Passaggio 7.12

Scomponi $- 1$ da $- 9 x$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - (9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Passaggio 7.13

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (9 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Passaggio 7.14

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 1 (16))}{5 x^{3}}$

Passaggio 7.15

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} + 9 x) - 1 (16)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Passaggio 7.16

Riscrivi $- (x^{2} + 9 x + 16)$ come $- 1 (x^{2} + 9 x + 16)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Passaggio 7.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- x} (x^{2} + 9 x + 16)}{5 x^{3}}$