Calcolo Esempi

$\arctan (2 x - x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - (2 x))$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$

Passaggio 1.1.2.7.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$ .

$f' (x) = (2 - 2 x) \frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 - 2 x = 0$

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $2 - 2 x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $2 - 2 x$ uguale a $0$ .

$2 - 2 x = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $2 - 2 x = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 2$ .

$x = 1$

Passaggio 2.4

Imposta $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ uguale a $0$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ vera.

$x = 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\arctan (2 x - x^{2})$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\arctan (2 (1) - {(1)}^{2})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\arctan (2 - {(1)}^{2})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\arctan (2 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\arctan (2 - 1)$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\arctan (1)$

Passaggio 4.1.2.3

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(1, \frac{π}{4})$

Passaggio 5