Calcolo Esempi

$e^{x} - e^{3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \cdot 3)$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$e^{x} - (3 \cdot e^{3 x})$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 e^{3 x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{x} - 3 e^{3 x}$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$

Passaggio 2.2

Sposta $- 3 e^{3 x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$e^{x} = 3 e^{3 x}$

Passaggio 2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3 e^{3 x})$

Passaggio 2.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3 e^{3 x})$

Passaggio 2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3 e^{3 x})$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (3 e^{3 x})$

Passaggio 2.5

Espandi il lato destro.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\ln (3 e^{3 x})$ come $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$x = \ln (3) + \ln (e^{3 x})$

Passaggio 2.5.2

Espandi $\ln (e^{3 x})$ spostando $3 x$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (3) + 3 x \ln (e)$

Passaggio 2.5.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x \cdot 1$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x$

Passaggio 2.6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.6.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - 3 x = \ln (3)$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$- 2 x = \ln (3)$

Passaggio 2.7

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = \ln (3)$ e semplifica.

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Passaggio 2.7.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = \ln (3)$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 2.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Passaggio 2.7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (3)}{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $e^{x} - e^{3 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{\ln (3)}{2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{\ln (3)}{2}$ a $x$ .

$e^{- \frac{\ln (3)}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$e^{- (\frac{1}{2} \ln (3))} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$e^{- \ln (3^{\frac{1}{2}})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Semplifica $- \ln (3^{\frac{1}{2}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$e^{\ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1.2.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot - 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$3^{\frac{- 1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3^{- \frac{1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.7

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (3)))}$

Passaggio 4.1.2.1.8

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))}$

Passaggio 4.1.2.1.9

Moltiplica $3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))$ .

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Passaggio 4.1.2.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.1.2.1.9.2

Semplifica $- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}$

Passaggio 4.1.2.1.10

Semplifica $- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1})}$

Passaggio 4.1.2.1.11

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$

Passaggio 4.1.2.1.12

Moltiplica gli esponenti in ${({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1.2.1.12.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{3 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.2.1.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

Passaggio 4.1.2.1.13

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ .

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Passaggio 4.1.2.1.13.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{2} \cdot - 3}$

Passaggio 4.1.2.1.13.2

$\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{- 3}{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.13.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.14

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3^{\frac{3}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $3^{\frac{1}{2}}$ per $3^{\frac{2}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.2.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.2.5.1

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{3^{1} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{\ln (3)}{2}, \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 5