Calcolo Esempi

$\sin (6 x) + \cos (6 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (6 x) + \cos (6 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 1.1.2.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (6 x) (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\cos (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta $6$ alla sinistra di $\cos (6 x)$ .

$6 \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $6 x$ .

$6 \cos (6 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3.1.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 x$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) (6 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) \cdot 6$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f' (x) = 6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$ .

$6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x) = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $\cos (6 x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{6 \cos (6 x)}{\cos (6 x)} + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $\cos (6 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cos (6 x)}{\cos (6 x)} + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Passaggio 2.3.2

Dividi $6$ per $1$ .

$6 + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Passaggio 2.4

Frazioni separate.

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Passaggio 2.5

Converti da $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ a $\tan (6 x)$ .

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \tan (6 x) = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Passaggio 2.6

Dividi $- 6$ per $1$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Passaggio 2.7

Frazioni separate.

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (6 x)}$

Passaggio 2.8

Converti da $\frac{1}{\cos (6 x)}$ a $\sec (6 x)$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (6 x)$

Passaggio 2.9

Dividi $0$ per $1$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = 0 \sec (6 x)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $0$ per $\sec (6 x)$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = 0$

Passaggio 2.11

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 \tan (6 x) = - 6$

Passaggio 2.12

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 \tan (6 x) = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 \tan (6 x) = - 6$ .

$\frac{- 6 \tan (6 x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 \tan (6 x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Passaggio 2.12.2.1.2

Dividi $\tan (6 x)$ per $1$ .

$\tan (6 x) = \frac{- 6}{- 6}$

Passaggio 2.12.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.1

Dividi $- 6$ per $- 6$ .

$\tan (6 x) = 1$

Passaggio 2.13

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$6 x = \arctan (1)$

Passaggio 2.14

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$6 x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.15

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = \frac{π}{4}$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Passaggio 2.15.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Passaggio 2.15.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Passaggio 2.15.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 2.15.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 2.15.3.2.2

Moltiplica $4$ per $6$ .

$x = \frac{π}{24}$

Passaggio 2.16

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$6 x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.17

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$6 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.17.1.2

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$6 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.17.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 2.17.1.4

Somma $π \cdot 4$ e $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1.4.1

Riordina $π$ e $4$ .

$6 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 2.17.1.4.2

Somma $4 \cdot π$ e $π$ .

$6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Passaggio 2.17.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Passaggio 2.17.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Passaggio 2.17.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Passaggio 2.17.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 2.17.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{4}$ per $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 2.17.2.3.2.2

Moltiplica $4$ per $6$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Passaggio 2.18

Trova il periodo di $\tan (6 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.18.2

Sostituisci $b$ con $6$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 6 |}$

Passaggio 2.18.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $6$ è $6$ .

$\frac{π}{6}$

Passaggio 2.19

Il periodo della funzione $\tan (6 x)$ è $\frac{π}{6}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{6}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{6}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{6}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\sin (6 x) + \cos (6 x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{24}$ a $x$ .

$\sin (6 (\frac{π}{24})) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Scomponi $6$ da $24$ .

$\sin (6 \frac{π}{6 (4)}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (6 \frac{π}{6 \cdot 4}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Passaggio 4.1.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{π}{4}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Passaggio 4.1.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Scomponi $6$ da $24$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{π}{6 (4)})$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{π}{6 \cdot 4})$

Passaggio 4.1.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{5 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{5 π}{24}$ a $x$ .

$\sin (6 (\frac{5 π}{24})) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Scomponi $6$ da $24$ .

$\sin (6 \frac{5 π}{6 (4)}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (6 \frac{5 π}{6 \cdot 4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Passaggio 4.2.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Passaggio 4.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Scomponi $6$ da $24$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{5 π}{6 (4)})$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{5 π}{6 \cdot 4})$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$- \sqrt{2}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{24} + \frac{π n}{3}, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{3}, - \sqrt{2})$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5