Calcolo Esempi

$3 x^{3} + 4 x^{2} + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 4 x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$9 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} + 8 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $9 x^{2} + 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 8 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $9 x^{2} + 8 x$ .

$9 x^{2} + 8 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $9 x^{2} + 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$9 x^{2} + 8 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x$ da $9 x^{2} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x$ da $9 x^{2}$ .

$x (9 x) + 8 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$x (9 x) + x \cdot 8 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x$ da $x (9 x) + x \cdot 8$ .

$x (9 x + 8) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$9 x + 8 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $9 x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $9 x + 8$ uguale a $0$ .

$9 x + 8 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $9 x + 8 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x = - 8$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = - 8$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 8}{9}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 8}{9}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{9}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{8}{9}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (9 x + 8) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{8}{9}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 x^{3} + 4 x^{2} + 5$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 5$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} + 5$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{2} + 5$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 + 5$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + 0 + 5$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 5$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $5$ .

$5$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{8}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \frac{8}{9}$ a $x$ .

$3 {(- \frac{8}{9})}^{3} + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{8}{9}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8}{9})}^{3}) + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{9}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{8^{3}}{9^{3}}) + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$3 (- \frac{8^{3}}{9^{3}}) + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$3 (- \frac{512}{9^{3}}) + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$3 (- \frac{512}{729}) + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{512}{729}$ nel numeratore.

$3 (\frac{- 512}{729}) + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Scomponi $3$ da $729$ .

$3 \frac{- 512}{3 (243)} + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{- 512}{3 \cdot 243} + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 512}{243} + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{512}{243} + 4 {(- \frac{8}{9})}^{2} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{512}{243} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{8}{9})}^{2}) + 5$

Passaggio 4.2.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{9}$ .

$- \frac{512}{243} + 4 ({(- 1)}^{2} \frac{8^{2}}{9^{2}}) + 5$

Passaggio 4.2.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{512}{243} + 4 (1 \frac{8^{2}}{9^{2}}) + 5$

Passaggio 4.2.2.1.9

Moltiplica $\frac{8^{2}}{9^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{512}{243} + 4 \frac{8^{2}}{9^{2}} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.10

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{512}{243} + 4 \frac{64}{9^{2}} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.11

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{512}{243} + 4 (\frac{64}{81}) + 5$

Passaggio 4.2.2.1.12

Moltiplica $4 (\frac{64}{81})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.12.1

$4$ e $\frac{64}{81}$ .

$- \frac{512}{243} + \frac{4 \cdot 64}{81} + 5$

Passaggio 4.2.2.1.12.2

Moltiplica $4$ per $64$ .

$- \frac{512}{243} + \frac{256}{81} + 5$

Passaggio 4.2.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{256}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{243} + \frac{256}{81} \cdot \frac{3}{3} + 5$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{256}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{243} + \frac{256 \cdot 3}{81 \cdot 3} + 5$

Passaggio 4.2.2.2.3

Scrivi $5$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{512}{243} + \frac{256 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{5}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{243}{243}$ .

$- \frac{512}{243} + \frac{256 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{5}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Passaggio 4.2.2.2.5

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{243}{243}$ .

$- \frac{512}{243} + \frac{256 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.2.2.6

Riordina i fattori di $81 \cdot 3$ .

$- \frac{512}{243} + \frac{256 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{5 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.2.2.7

Moltiplica $3$ per $81$ .

$- \frac{512}{243} + \frac{256 \cdot 3}{243} + \frac{5 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 512 + 256 \cdot 3 + 5 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Moltiplica $256$ per $3$ .

$\frac{- 512 + 768 + 5 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.2.4.2

Moltiplica $5$ per $243$ .

$\frac{- 512 + 768 + 1215}{243}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Somma $- 512$ e $768$ .

$\frac{256 + 1215}{243}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Somma $256$ e $1215$ .

$\frac{1471}{243}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 5), (- \frac{8}{9}, \frac{1471}{243})$

Passaggio 5