Calcolo Esempi

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Passaggio 2.2

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci $- 4 \sin^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.4.3

Sottrai $4$ da $2$ .

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.4.4

Riordina il polinomio.

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

Passaggio 2.4.5

Sostituisci $u$ a $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Passaggio 2.4.6

Scomponi $2$ da $4 u^{2} + 6 u - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Scomponi $2$ da $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

Passaggio 2.4.6.2

Scomponi $2$ da $6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

Passaggio 2.4.6.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

Passaggio 2.4.6.4

Scomponi $2$ da $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

Passaggio 2.4.6.5

Scomponi $2$ da $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Passaggio 2.4.7

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ .

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.1.2

Dividi $2 u^{2} + 3 u - 1$ per $1$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

Passaggio 2.4.8

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.9

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 3$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.10.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.10.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.10.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.10.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.10.1.3

Somma $9$ e $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.11

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.11.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.11.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.11.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.11.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.11.1.3

Somma $9$ e $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.11.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.11.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.11.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

Passaggio 2.4.11.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

Passaggio 2.4.11.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.12

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.12.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.12.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.12.1.3

Somma $9$ e $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.12.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.12.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.12.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.12.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

Passaggio 2.4.12.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

Passaggio 2.4.12.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.13

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.14

Sostituisci $\cos (x)$ a $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.15

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 2.4.16

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.16.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Passaggio 2.4.16.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.16.2.1

Calcola $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 1.28619336$

Passaggio 2.4.16.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Passaggio 2.4.16.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.16.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Passaggio 2.4.16.4.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 1.28619336$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.16.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

Passaggio 2.4.16.4.2.2

Sottrai $1.28619336$ da $6.2831853$ .

$x = 4.99699194$

Passaggio 2.4.16.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.16.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.4.16.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.16.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.4.16.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.4.16.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4.17

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.17.1

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 2.4.18

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1.28619336$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1.28619336$ a $x$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 4.99699194$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $4.99699194$ a $x$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 4.99699194 + 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $4.99699194 + 2 π$ a $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Somma $4.99699194$ e $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $4.99699194$ e $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $2$ per $11.28017724$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

Passaggio 4.4

Calcola per $x = 4.99699194 + 4 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci $4.99699194 + 4 π$ a $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Passaggio 4.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Somma $4.99699194$ e $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $4.99699194$ e $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

Passaggio 4.4.2.3

Moltiplica $2$ per $17.56336255$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

Passaggio 4.5

Calcola per $x = 4.99699194 + 6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci $4.99699194 + 6 π$ a $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Passaggio 4.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Somma $4.99699194$ e $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $4.99699194$ e $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

Passaggio 4.5.2.3

Moltiplica $2$ per $23.84654786$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

Passaggio 4.6

Calcola per $x = 4.99699194 + 8 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sostituisci $4.99699194 + 8 π$ a $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Passaggio 4.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Somma $4.99699194$ e $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Passaggio 4.6.2.2

Somma $4.99699194$ e $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

Passaggio 4.6.2.3

Moltiplica $2$ per $30.12973317$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

Passaggio 4.7

Elenca tutti i punti.

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5