Calcolo Esempi

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.2.3

$5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x^{4} - 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.4

$- 3$ e $\frac{4}{3}$ .

$x^{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$x^{4} + \frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.6

$\frac{- 12}{3}$ e $x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.7

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Scomponi $3$ da $- 12 x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + \frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.3.7.2.4

Dividi $- 4 x^{2}$ per $1$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $\frac{17}{15}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{17}{15}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $x^{4} - 4 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{4} - 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{4} - 4 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$u^{2} - 4 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $u$ da $u^{2} - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$u \cdot u - 4 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $u$ da $- 4 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 4 = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $u$ da $u \cdot u + u \cdot - 4$ .

$u (u - 4) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 2, - 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- \frac{4}{3} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Moltiplica $0$ per $\frac{4}{3}$ .

$0 + 0 + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $\frac{17}{15}$ .

$\frac{17}{15}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.1.2

$\frac{1}{5}$ e $32$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot 8 + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- \frac{4}{3} \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{32}{5} - 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

$- 8$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 32}{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{32}{5} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{32}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{32}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.2.5

Riordina i fattori di $5 \cdot 3$ .

$\frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.2.6

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.2.7

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{32 \cdot 3 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Passaggio 4.2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Moltiplica $32$ per $3$ .

$\frac{96 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Passaggio 4.2.2.4.2

Moltiplica $- 32$ per $5$ .

$\frac{96 - 160 + 17}{15}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Sottrai $160$ da $96$ .

$\frac{- 64 + 17}{15}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Somma $- 64$ e $17$ .

$\frac{- 47}{15}$

Passaggio 4.2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{47}{15}$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(- 2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 32 - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.1.2

$\frac{1}{5}$ e $- 32$ .

$\frac{- 32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot - 8 + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- \frac{4}{3} \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$- \frac{32}{5} + 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.1.5.2

$8$ e $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.1.5.3

Moltiplica $8$ per $4$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica $\frac{32}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{32}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Riordina i fattori di $5 \cdot 3$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.2.6

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.2.7

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Passaggio 4.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 32 \cdot 3 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $- 32$ per $3$ .

$\frac{- 96 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Moltiplica $32$ per $5$ .

$\frac{- 96 + 160 + 17}{15}$

Passaggio 4.3.2.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Somma $- 96$ e $160$ .

$\frac{64 + 17}{15}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Somma $64$ e $17$ .

$\frac{81}{15}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Elimina il fattore comune di $81$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.3.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$\frac{3 (27)}{15}$

Passaggio 4.3.2.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.3.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Passaggio 4.3.2.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Passaggio 4.3.2.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27}{5}$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, \frac{17}{15}), (2, - \frac{47}{15}), (- 2, \frac{27}{5})$

Passaggio 5