Calcolo Esempi

$(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Eleva $24 - 2 x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} (24 - 2 x) x]$

Passaggio 1.1.2

Eleva $24 - 2 x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} {(24 - 2 x)}^{1} x]$

Passaggio 1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1 + 1} x]$

Passaggio 1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2} x]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(24 - 2 x)}^{2}$ e $g (x) = x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Passaggio 1.1.6

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Passaggio 1.1.6.2

Moltiplica ${(24 - 2 x)}^{2}$ per $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Passaggio 1.1.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 24 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Passaggio 1.1.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 u \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Passaggio 1.1.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Passaggio 1.1.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $24 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Passaggio 1.1.8.2

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Passaggio 1.1.8.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.1.8.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.1.8.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.8.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \cdot 1)$

Passaggio 1.1.8.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x))$

Passaggio 1.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24 - 4 (- 2 x))$

Passaggio 1.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24) + x (- 4 (- 2 x))$

Passaggio 1.1.9.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.3.1

Moltiplica $- 4$ per $24$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \cdot - 96 + x (- 4 (- 2 x))$

Passaggio 1.1.9.3.2

Sposta $- 96$ alla sinistra di $x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 \cdot x + x (- 4 (- 2 x))$

Passaggio 1.1.9.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + x (8 x)$

Passaggio 1.1.9.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x)$

Passaggio 1.1.9.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x^{1})$

Passaggio 1.1.9.3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{1 + 1}$

Passaggio 1.1.9.3.7

Somma $1$ e $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{2}$

Passaggio 1.1.9.4

Riordina i termini.

$8 x^{2} + {(24 - 2 x)}^{2} - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.5.1

Riscrivi ${(24 - 2 x)}^{2}$ come $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (24 - 2 x) (24 - 2 x) - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.2

Espandi $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{2} + 24 (24 - 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.5.3.1.1

Moltiplica $24$ per $24$ .

$8 x^{2} + 576 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $24$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.3.1.3

Moltiplica $24$ per $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.5.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x + 4 x^{2} - 96 x$

Passaggio 1.1.9.5.3.2

Sottrai $48 x$ da $- 48 x$ .

$8 x^{2} + 576 - 96 x + 4 x^{2} - 96 x$

Passaggio 1.1.9.6

Somma $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 576 - 96 x - 96 x$

Passaggio 1.1.9.7

Sottrai $96 x$ da $- 96 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 576 - 192 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12$ da $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $12$ da $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 576 - 192 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $12$ da $576$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 - 192 x = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $12$ da $- 192 x$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 + 12 (- 16 x) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $12$ da $12 x^{2} + 12 \cdot 48$ .

$12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x)$ .

$12 (x^{2} + 48 - 16 x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 48 - 16 x$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $48$ e la cui somma è $- 16$ .

$- 12, - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$12 ((x - 12) (x - 4)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (x - 12) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 12 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 12$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 12$ uguale a $0$ .

$x - 12 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 12$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 (x - 12) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 12, 4$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $12$ a $x$ .

$(24 - 2 \cdot 12) (24 - 2 \cdot 12) (12)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$(24 - 24) (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $24$ da $24$ .

$0 (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$0 (24 - 24) \cdot 12$

Passaggio 4.1.2.4

Sottrai $24$ da $24$ .

$0 \cdot 0 \cdot 12$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $0 \cdot 0 \cdot 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $0$ .

$0 \cdot 12$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $12$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$(24 - 2 \cdot 4) (24 - 2 \cdot 4) (4)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$(24 - 8) (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $8$ da $24$ .

$16 (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$16 (24 - 8) \cdot 4$

Passaggio 4.2.2.4

Sottrai $8$ da $24$ .

$16 \cdot 16 \cdot 4$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $16 \cdot 16 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Moltiplica $16$ per $16$ .

$256 \cdot 4$

Passaggio 4.2.2.5.2

Moltiplica $256$ per $4$ .

$1024$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(12, 0), (4, 1024)$

Passaggio 5