Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{{(3 x - 5)}^{9}}$ , $x = 2$

Passaggio 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 2$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = \frac{2}{{(3 (2) - 5)}^{9}}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{2}{{(3 (2) - 5)}^{9}}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $\frac{2}{{(3 (2) - 5)}^{9}}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \frac{2}{{(6 - 5)}^{9}}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Sottrai $5$ da $6$ .

$y = \frac{2}{1^{9}}$

Passaggio 1.2.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.2.2.2

Dividi $2$ per $1$ .

$y = 2$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(3 x - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{({(3 x - 5)}^{9})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x - 5)}^{9})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{9 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica ${(3 x - 5)}^{9}$ per $1$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = 3 x - 5$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 5$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 5$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x (9 {(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.4.2

Scomponi ${(3 x - 5)}^{8}$ da ${(3 x - 5)}^{9} - 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Scomponi ${(3 x - 5)}^{8}$ da ${(3 x - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5) - 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.4.2.2

Scomponi ${(3 x - 5)}^{8}$ da $- 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5) + {(3 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.4.2.3

Scomponi ${(3 x - 5)}^{8}$ da ${(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5) + {(3 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Passaggio 2.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.5.1

Scomponi ${(3 x - 5)}^{8}$ da ${(3 x - 5)}^{18}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{8} {(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{8} {(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.10

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 + 0)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.11

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.11.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $3$ per $- 9$ .

$\frac{3 x - 5 - 27 x}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.11.3

Sottrai $27 x$ da $3 x$ .

$\frac{- 24 x - 5}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.12

Semplifica.

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Passaggio 2.12.1

Scomponi $- 1$ da $- 24 x$ .

$\frac{- (24 x) - 5}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.12.2

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{- (24 x) - 1 (5)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.12.3

Scomponi $- 1$ da $- (24 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (24 x + 5)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.12.4

Riscrivi $- (24 x + 5)$ come $- 1 (24 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (24 x + 5)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{24 x + 5}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.13

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$- \frac{24 (2) + 5}{{(3 (2) - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.14

Semplifica.

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Passaggio 2.14.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.14.1.1

Moltiplica $24$ per $2$ .

$- \frac{48 + 5}{{(3 (2) - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.14.1.2

Somma $48$ e $5$ .

$- \frac{53}{{(3 (2) - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.14.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.14.2.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{53}{{(6 - 5)}^{10}}$

Passaggio 2.14.2.2

Sottrai $5$ da $6$ .

$- \frac{53}{1^{10}}$

Passaggio 2.14.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{53}{1}$

Passaggio 2.14.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.14.3.1

Dividi $53$ per $1$ .

$- 1 \cdot 53$

Passaggio 2.14.3.2

Moltiplica $- 1$ per $53$ .

$- 53$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $- 53$ e un punto dato $(2, 2)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 53 \cdot (x - (2))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 2 = - 53 \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $- 53 \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 - 53 \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = - 53 \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = - 53 x - 53 \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 53$ per $- 2$ .

$y - 2 = - 53 x + 106$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 53 x + 106 + 2$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $106$ e $2$ .

$y = - 53 x + 108$

Passaggio 4