Calcolo Esempi

$f (x) = {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 1$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 10 x - 9$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $10 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $10 x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.6.3

Sposta ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Passaggio 1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 1.8

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 1.10

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 1.11

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Passaggio 1.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.12.1

Somma $10$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Passaggio 1.12.2

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12.3

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.13.1

Scomponi $2$ da $2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{{(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{5}{{(10 (1) - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{5}{{(10 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.2

Sottrai $9$ da $10$ .

$f' (1) = \frac{5}{1^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{5}{1}$

Passaggio 4

Dividi $5$ per $1$ .

$f' (1) = 5$