Calcolo Esempi

$\frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $4$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2.6

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.3

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.8.1.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.8.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 + 0 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.8.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 + 0 + 0}}$

Passaggio 3.8.2.3

Somma $4 + 0$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 + 0}}$

Passaggio 3.8.2.4

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 3.8.2.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 3.8.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 9}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $4$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.2.6

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.4

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 4.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 4.8.1.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 4.8.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 0 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 4.8.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 0 + 0}}$

Passaggio 4.8.2.3

Somma $4 + 0$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 0}}$

Passaggio 4.8.2.4

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4}}$

Passaggio 4.8.2.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{- \sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 4.8.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.8.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{- 2}$

Passaggio 4.8.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 8