Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ è indefinita.

$- 2 < x < - 1, x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ da sinistra e $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ da destra, allora $x = - \frac{1}{2}$ è un asintoto verticale.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2} + 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Passaggio 3.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.3.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.4

Riordina $x$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.2.8.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.8.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.8.3

Somma $2 x$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2.9

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.7

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.12

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.13

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.14

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.3.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.6

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.7.1.2

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.7.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.7.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.7.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.7.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.9.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.9.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Passaggio 3.11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Dividi $2 + 3 \cdot 0$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Passaggio 3.11.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Passaggio 3.11.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Passaggio 3.11.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Passaggio 3.11.2.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Passaggio 3.11.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Passaggio 3.11.3

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $x^{2} + 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Passaggio 4.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.3.3

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.3.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.4

Riordina $x$ e $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.8.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.8.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.8.3

Somma $2 x$ e $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2.9

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.3

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 4.4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.7

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.12

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.13

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.14

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.4.3.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.6

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.7.1.2

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.7.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.7.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.7.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.7.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.9.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.9.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Passaggio 4.11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Dividi $2 + 3 \cdot 0$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Passaggio 4.11.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Passaggio 4.11.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Passaggio 4.11.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Passaggio 4.11.2.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 + 0}$

Passaggio 4.11.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Passaggio 4.11.3

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 4.11.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.11.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{1}{2}$

Asintoti orizzontali: $y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 8