Calcolo Esempi

$f (x) = a x^{3} + b x$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = a {(x + h)}^{3} + b (x + h)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = a (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + b (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = a x^{3} + a (3 x^{2} h) + a (3 x h^{2}) + a h^{3} + b (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica.

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Passaggio 2.1.2.1.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x + h) = a x^{3} + 3 a x^{2} h + a (3 x h^{2}) + a h^{3} + b (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x + h) = a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$ .

$a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$

Passaggio 2.2

Riordina.

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Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$a x^{3} + 3 a h x^{2} + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$a x^{3} + 3 a h x^{2} + 3 a h^{2} x + a h^{3} + b x + b h$

Passaggio 2.2.3

Sposta $b x$ .

$a x^{3} + 3 a h x^{2} + 3 a h^{2} x + a h^{3} + b h + b x$

Passaggio 2.2.4

Sposta $a x^{3}$ .

$3 a h x^{2} + 3 a h^{2} x + a h^{3} + a x^{3} + b h + b x$

Passaggio 2.2.5

Sposta $3 a h x^{2}$ .

$3 a h^{2} x + a h^{3} + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

Passaggio 2.2.6

Riordina $3 a h^{2} x$ e $a h^{3}$ .

$a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

$f (x) = a x^{3} + b x$

$f (x + h) = a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

$f (x) = a x^{3} + b x$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x - (a x^{3} + b x)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x - (a x^{3}) - (b x)}{h}$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $a x^{3}$ da $a x^{3}$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h + b x + 0 - b x}{h}$

Passaggio 4.1.3

Somma $a h^{3}$ e $0$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h + b x - b x}{h}$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $b x$ da $b x$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma $a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h$ e $0$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h}{h}$

Passaggio 4.1.6

Scomponi $h$ da $a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h$ .

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Passaggio 4.1.6.1

Scomponi $h$ da $a h^{3}$ .

$\frac{h (a h^{2}) + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b (h)}{h}$

Passaggio 4.1.6.2

Scomponi $h$ da $3 a h^{2} x$ .

$\frac{h (a h^{2}) + h (3 a h x) + 3 a h x^{2} + b (h)}{h}$

Passaggio 4.1.6.3

Scomponi $h$ da $3 a h x^{2}$ .

$\frac{h (a h^{2}) + h (3 a h x) + h (3 a x^{2}) + b (h)}{h}$

Passaggio 4.1.6.4

Scomponi $h$ da $b h$ .

$\frac{h (a h^{2}) + h (3 a h x) + h (3 a x^{2}) + h (b)}{h}$

Passaggio 4.1.6.5

Scomponi $h$ da $h (a h^{2}) + h (3 a h x)$ .

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x) + h (3 a x^{2}) + h (b)}{h}$

Passaggio 4.1.6.6

Scomponi $h$ da $h (a h^{2} + 3 a h x) + h (3 a x^{2})$ .

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2}) + h (b)}{h}$

Passaggio 4.1.6.7

Scomponi $h$ da $h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2}) + h (b)$ .

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b$ per $1$ .

$a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.1

Sposta $h$ .

$a h^{2} + 3 a x h + 3 a x^{2} + b$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $a h^{2}$ .

$3 a x h + 3 a x^{2} + a h^{2} + b$

Passaggio 4.2.2.3

Riordina $3 a x h$ e $3 a x^{2}$ .

$3 a x^{2} + 3 a x h + a h^{2} + b$

Passaggio 5